DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

3. Liegruppen. Sei φ : G → H ein differenzierbarer Gruppenhomomorphismus
von Liegruppen G und H. Die Ableitung T e φ : T e G → T e H im neutralen Element
sei ein Vektorraumisomorphismus. Zeigen Sie, dass φ eine Überlagerung ist.
4. Killingfelder. Sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit
positiver Schnittkrümmung und gerader Dimension. Zeigen Sie, dass jedes Killingfeld
auf M eine Nullstelle hat.
5. Geschlossene Geodätische. Eine Geodätische c : [a, b] → M heißt geschlossen,
wenn c(a) = c(b) und ċ(a) = ċ(b) ist. Sei c eine geschlossene Geodätische in
einer Riemannschen Mannigfaltigkeit mit positiver Schnittkrümmung und gerader
Dimension. Die Parallelverschiebung T c(a) → T c(b) M längs c sei orientierungserhaltend,
habe also positive Determinante. Zeigen sie: Es existiert eine Variation
c s (t) = H(s, t) von c durch geschlossene differenzierbare Kurven c s , die kürzer sind
als c. Hinweis: Verwenden Sie die zweite Variationsformel mit einem geeigneten
Vektorfeld V längs c.
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