DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

24. Vergleichssatz von Rauch
Da in die Jacobigleichung (23.1.1) der Krümmungstensor einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) eingeht, liegt es nahe, dass aus Schranken für die Krümmung
Abschätzungen für Jacobifelder gewonnen werden können. Eine derartige Aussage
ist Inhalt des Vergleichssatzes von Rauch, der, grob gesprochen, besagt, dass bei
vergleichbaren Ausgangsbedingungen die Jacobifelder einer negativer gekrümmten
Mannigfaltigkeit entlang einer Geodätischen stärker wachsen als die einer positiver
gekrümmten. Da Jacobifelder die Ableitung der Exponentialabbildung beschreiben,
und da man die Jacobifelder der Räume konstanter Krümmung kennt, ergeben sich
Folgerungen für die Längenverzerrung durch Normalkoordinaten und für die Lage
der konjugierten Punkte auf einer Geodätischen.
24.1. Vergleichssatz von Rauch. Seien (M, g) und (M ∗ , g ∗ ) Riemannsche Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension, und seien c : [a, b] → M und c ∗ : [a, b] → M ∗
Geodätische mit ‖ċ‖ = ‖ċ ∗ ‖. Es gelte
(a) c ∗ hat keine zu c ∗ (a) längs c ∗ konjugierten Punkte, und
(b) Für alle t ∈ [a, b] und alle Vektoren X ∈ T c(t) M und X ∗ ∈ T c ∗ (t)M ∗ sind die
Schnittkrümmungen
K(ċ(t), X) ≤ K ∗ (ċ ∗ (t), X ∗ ).
Seien J und J ∗ Jacobifelder längs c und c ∗ mit den Eigenschaften
(c) 〈J, ċ 〉 = 〈J ∗ , ċ ∗ 〉 = 0,
(d) J(a) = 0 und J ∗ (a) = 0
(e) ‖(∇ t J)(a)‖ = ‖(∇ t J ∗ )(a)‖.
Dann gilt
‖J(t)‖ ≥ ‖J ∗ (t)‖
auf [a, b]. Gilt in dieser Ungleichung für einen Wert t 0 ∈ (0, a] das Gleichheitszeichen,
dann ist für alle t ∈ [0, t 0 ]
K(ċ(t), J(t)) = K ∗ (ċ ∗ (t), J ∗ (t)).
Ist J ∗ ≠ 0, dann ist J ∗ (t) ≠ 0 für alle t ∈ (a, b], und die Funktion
ist monoton wachsend.
t ↦→ ‖J(t)‖
‖J ∗ (t)‖
Die Aussage des Satzes lässt sich gut am Beispiel von Sphären unterschiedlicher
Radien 1/ √ κ veranschaulichen. Der Beweis wird zeigen, dass die Voraussetzung
Version 17. Juli 2000
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