DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

das positive Vorzeichen, wenn der Normalschnitt E ∩ M sich in Richtung von n(p)
krümmt, andernfalls das negative.
Für allgemeine Kurven mit ‖ċ‖ = 1 läßt sich die Normalkrümmung mit der zweiten
Fundamentalform II in Zusammenhang bringen. Es ist nämlich
κ n (s) = 〈 c ′′ (s), n(c(s)) 〉
= d ds 〈c′ (s), n(c(s))〉 −
〈c ′ (s), d 〉
ds n(c(s))
= − 〈 ċ(s), ∇ċ(s) ν 〉
= II(ċ(s), ċ(s)).
Satz. Die Normalkrümmung κ n (s) von c hängt nur vom Tangentialvektor ċ(s) ab:
κ n (s) = II(ċ(s), ċ(s)). (12.1.3)
Insbesondere stimmt κ n (s) mit der mit Vorzeichen versehenen Krümmung des c im
Punkt c(s) berührenden Normalschnittes von M überein.
Als eine geometrische Deutung der zweiten Fundamentalform ergibt sich:
Korollar. Für X ∈ T p M ist II(X, X)/ ‖X‖ 2 die mit Vorzeichen versehene Krümmung
des Normalschnittes der durch X und n(p) aufgespannten Ebene mit M.
12.2. Hauptkrümmungen einer Fläche. Die Eigenwerte k 1 (p) und k 2 (p) der
Weingartenabbildung L p : T p M → T p M heißen die Hauptkrümmungen von M
in p, die Eigenräume Hauptkrümmungsrichtungen. Kurven c, die in jedem ihrer
Punkte tangentiell an eine Hauptkrümmungsrichtung sind, für die also ċ(t) in einem
Eigenraum von L c(t) enthalten ist, heißen Krümmungslinien.
Lemma. (a) Ist k 1 (p) ≠ k 2 (p), dann sind die beiden Hauptkrümmungsrichtungen
zueinander orthogonal.
(b) Ist k 1 (p) ≤ k 2 (p), dann gilt
{ II(X, X)
k 1 (p) = min
‖X‖ 2
k 2 (p) = max
{ II(X, X)
‖X‖ 2
∣ }
∣∣ X ∈ Tp M\{0}
∣ }
∣∣ X ∈ Tp M\{0} .
(12.2.1)
Die Hauptkrümmungsrichtungen k 1 (p), k 2 (p) sind also das Minimum und Maximum
der Krümmungen der Normalschnitte von M im Punkt p.
Beweis. (a) Eigenräume eines selbstadjungierten Endomorphismus eines euklidischen
Vektorraumes, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind zueinander
orthogonal: In etwas abgekürzter Schreibweise ist
k 1 〈X, Y 〉 = 〈k 1 X, Y 〉 = 〈LX, Y 〉 = 〈X, LY 〉 = 〈X, k 2 Y 〉 = k 2 〈X, Y 〉.
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