DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

dann erhält man eine differenzierbare Abbildung
n =
⎛
⎝ n1
⎞
n 2 ⎠ : M → S 2 ⊆ R 3
n 3
mit Werten in der Einheitssphäre. Diese Abbildung heißt die Gaußabbildung von M.
Ist ψ : W → ψ(W ) = U ⊆ M eine orientierungserhaltende lokale Parametrisierung,
dann gilt offenbar
n(p) = ∥
∂ψ
∂w 1
∥ ∂ψ
∂w 1
× ∂ψ
∂w 2
× ∂ψ
∂w 2 ∥ ∥
(ψ −1 (p)).
11.3. Kovariante Ableitung auf R n . Sei Y ein differenzierbares Vektorfeld auf
R n . Bezüglich der Standardbasisfelder ist dann Y = Y j ∂/∂x j . Für X p ∈ T p R n
definiert man die kovariante Ableitung von Y nach X p durch Differentiation der
Komponentenfunktionen,
∇ Xp Y = X p (Y j )
∂
∂x j ∣ ∣∣∣p
∈ T p R n .
Ist c : [0, 1] → R n eine differenzierbare Kurve mit c(0) = p und ċ(0) = X p , dann
gilt X p (Y j ) = (Y j ◦ c) ′ (0). Daher hängt der Wert ∇ Xp Y nicht von Y , sondern nur
von der Einschränkung von Y auf das Bild der Kurve c ab.
Für Vektorfelder X und Y auf R n definiert man ein Vektorfeld ∇ X Y durch
(∇ X Y )(p) = ∇ X(p) Y .
Man verifiziert die folgende Produktregel für die Standardmetrik g R n des R n :
X(g R n(Y, Z)) = g R n(∇ X Y, Z) + g R n(Y, ∇ X Z) .
11.4. Weingartenabbildung und zweite Fundamentalform. Sei M ⊆ R 3
eine orientierte Fläche, versehen mit dem Einheitsnormalenfeld ν aus Abschnitt
11.2, und sei X p ∈ T p M ⊆ T p R 3 . Dann ist die Ableitung ∇ Xp ν ∈ T p R 3 wohldefiniert.
Nach der Produktregel aus 11.3 ist
0 = X p (g R 3(ν, ν)) = 2 g R 3(∇ Xp ν, ν(p)) .
Der Vektor ∇ Xp ν ist also orthogonal zu ν(p), und damit ist ∇ Xp ν ∈ T p M.
Definition. Die differenzierbare Abbildung L : T M → T M,
L(X p ) = −∇ Xp ν
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