DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

4.13. Eins–Formen. Eine Eins–Form (oder 1–Form) der Klasse C k auf M ist
eine C k –Abbildung α : M → T ∗ M mit π ◦ α = id M . Eins–Formen nennt man
auch Kovektorfelder. Ist (ϕ, U) eine Karte, dann sind die Koordinatendifferentiale
dx i : p ↦→ dx i | p offensichtlich Eins–Formen der Klasse C ∞ auf U.
Wie bei Vektorfeldern in 4.8 zeigt man: Eine Abbildung α : M → T ∗ M mit π ◦ α =
id M ist eine C ∞ –Eins–Form genau dann, wenn für alle Karten (ϕ, U) ∈ A gilt
mit differenzierbaren α i ∈ C ∞ (U).
α| U =
n∑
α i dx i
i=1
4.14. Das Differential einer Funktion. Sei f ∈ C ∞ (M). Dann ist df : M →
T ∗ M, definiert durch df(p) = df| p eine C ∞ –Eins–Form. Die Differenzierbarkeit
ergibt sich aus folgendem
Lemma. Sei f ∈ C ∞ (M), und sei (ϕ, U) eine Karte. Dann gilt
mit den C ∞ –Funktionen
df| U =
n∑
i=1
∂f
∂x i : p ↦→
∂f
∂x i dxi (4.14.1)
∂
∂x j ∣ ∣∣∣p
f .
Beweis. Ist α = ∑ n
i=1 α i dx i | p ∈ Tp ∗ M, dann gilt für die Komponenten α j =
α(∂/∂x j | p ). Speziell für α = df| p ist aber nach der Definition von df| p in 4.9
df| p
(
∣ ∂ ∣∣∣p )
∂x j = ∂ ∣ ∣∣∣p
∂x j f.
QED
Man beachte, dass die Notation ∂f/∂x i im Lemma einiger Interpretation bedarf:
Für p ∈ U ist
∂f
∂x i (p) = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p)) .
Man verwendet die Notation wegen ihrer Kürze, und auch wohl, um das traditionelle
Erscheinungsbild der Formel (4.14.1) zu wahren, das der Zeit der “infinitesimalen
Größen” entstammt.
Aufgaben
1. Immersionen und Submersionen. Zeigen Sie, dass jede differenzierbare
Abbildung f : M → N geschrieben werden kann als f = g ◦ h mit einer Immersion
h : M → P und einer Submersion g : P → N. Hinweis: Wählen Sie P = M × N.
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