DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Sei { (ϕ β , V β ) | β ∈ I } ein Atlas wie in Lemma 8.3, und sei ϱ ∈ C ∞ (R n )
eine Funktion mit 0 ≤ ϱ ≤ 1 und ϱ| B(0,1) = 1, deren Träger in B(0, 2) enthalten ist.
Wir setzen
{
ϱ (ϕβ (p)) , wenn p ∈ V
σ β (p) =
β ;
0, sonst.
Nun wählen wir eine Abbildung λ : I → Λ so, dass für alle β ∈ I gilt V β ⊆ U λ(β) ,
und definieren
f α (p) =
∑
σ β (p) .
β∈λ −1 (α)
Dies ist eine endliche Summe, da die Überdeckung { V β | β ∈ I } lokal endlich ist.
Sei
W α :=
⋃
V β .
Dann ist W α ⊆ U α , und der Träger
supp(f α ) ⊆
β∈λ −1 (α)
⋃
β∈λ −1 (α)
supp(σ β ) ⊆ W α .
Wir definieren die gewünschten Funktionen ρ α durch
ϱ α (p) =
f α (p)
∑κ∈Λ f κ(p) .
Wegen Eigenschaft (c) in Lemma 8.3 ist der Nenner positiv.
Es bleibt zu zeigen, dass die offene Überdeckung { W α | α ∈ Λ } eine lokal endliche
Verfeinerung von O ist. Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩V β =
∅ für alle bis auf endlich viele β ∈ I. Wenn U ∩ W α ≠ ∅ ist, dann gibt es ein
β ∈ λ −1 (α) mit U ∩ V β ≠ ∅. Da es nur endlich viele solche β gibt, existieren nur
endlich viele α = λ(β) mit U ∩ W α ≠ ∅, und die Behauptung ist bewiesen. QED
Die folgenden Sätze sind typische Anwendungen von Partitionen der Eins. Dabei
ist (M, A) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
8.5. Satz. (Fortsetzung von Vektorfeldern) Sei N ⊆ M eine Untermannigfaltigkeit,
und sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf N. Dann existiert ein differenzierbares
Vektorfeld ˜X auf M mit ˜X| N = X.
Zu beachten ist, dass hier das Tangentialbündel T N mit einer Teilmenge von T M
identifiziert wird. Diese Identifikation ist klar, wenn man Tangentialvektoren geometrisch
als Äquivalenzklassen von Kurven in N (also auch in M) sieht. In der
Sprache der Derivationen bedeutet sie die Identifikation von T N mit seinem Bild
unter der Ableitung T ι : T N → T M der Inklusionsabbildung ι : N → M. Der Satz
und sein Beweis gelten in ähnlicher Form für allgemeine Tensorfelder.
70