DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Da H und K offenbar C ∞ –Funktionen auf M sind, sind k 1 und k 2 stetig und,
abgesehen von den Nabelpunkten, in denen der Radikand verschwindet, auch von
der Klasse C ∞ .
12.4. Berechnung mittels lokaler Parametrisierung. Sei ψ : W → U ⊆ M
eine lokale Parametrisierung von M. Nach (11.5.5) ist
L i k = ∑ j
h ij g jk .
Die Matrix (L i j ) ist also Matrixprodukt (L i j ) = (h ij ) · (g ij ) −1 , und damit ist das
charakteristische Polynom der Weingartenabbildung
det(L p − λI) = det ( h ik (p) − λ g ik (p) )
det ( g ik (p) ) .
Die Hauptkrümmungen k 1 (p) und k 2 (p) sind folglich die Lösungen λ der Gleichung
det ( h ik (p) − λg ik (p) ) = 0.
Für die Gaußkrümmung und die mittlere Krümmung ergibt sich
K = det(h ik)
det(g ik ) = h 11h 22 − (h 12 ) 2
g 11 g 22 − (g 12 ) 2
H = 1 ∑
h ij g ji
2
i,j
12.5. Eine geometrische Deutung der Gaußkrümmung. Wir geben zunächst
eine geometrische Deutung des Vorzeichens der Gaußkrümmung. Dazu versehen wir
die Sphäre S 2 mit der wie folgt definierten Standardorientierung: Sei ξ das äußere
Einheitsnormalenfeld der Sphäre. Positiv orientiert heißen dann diejenigen Basen
(X 1 , X 2 ) des Tangentialraumes T q S 2 für die (X 1 , X 2 , ξ(q)) eine positiv orientierte
Basis von T q R 3 ist.
Nach Abschnitt 11.6 gilt für die Ableitung der Gaußabbildung T p n = −θ p ◦ L p .
Folglich ist T p n : T p M → T n (p)S 2 genau dann bijektiv, wenn K(p) = det(L p ) ≠ 0
ist, und es gilt:
Satz. Die Gaußkrümmung K(p) ist genau dann positiv, wenn die Gaußabbildung
n in einer Umgebung von p orientierungserhaltend ist. Sie ist genau dann negativ,
wenn n in einer Umgebung von p orientierungsumkehrend ist.
Eine geometrische Deutung des Absolutbetrages |K| gibt der folgende Satz.
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