DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

für die k–te kovariante Ableitung. Dann gilt für alle t, t 0 ∈ I und m ∈ N
mit dem Restglied
P c t 0,t X(t) − X(t 0) =
R m+1 = (t − t 0) m+1
m!
∫ 1
0
m∑ (t − t 0 ) k
X (k) (t 0 ) + R m+1 (15.3.1)
k!
k=1
Dabei ist t s = t 0 + s(t − t 0 ). Insbesondere gilt
(1 − s) m P c t 0,t s
(
X (m+1) (t s ) ) ds. (15.3.2)
∇X
dt (t 0) = lim
t→t0
P c t 0,tX(t) − X(t 0 )
t − t 0
. (15.3.3)
Man beachte, dass in (15.3.2) eine Funktion mit Werten im Vektorraum T c(t0)M
integriert wird. Gleichung (15.3.3), die man mit der entsprechenden Gleichung
(7.7.1) für die Lieableitung L X Y vergleichen sollte, zeigt insbesondere, dass die
Parallelverschiebung längs Kurven den Zusammenhang ∇ eindeutig bestimmt.
Man kann daher auch umgekehrt vorgehen und Zusammenhänge definieren als Familien
{P c } linearer Abbildungen, wobei der Index c eine differenzierbare Kurve in
M ist und P c ein Vektorraumisomorphismus zwischen den Tangentialräumen im
Anfangs– und Endpunkt von c, so dass gewisse Bedingungen erfüllt sind. Wir
verfolgen diesen Gedanken hier nicht weiter.
Zum Beweis der Taylorformel sei E 1 (a), . . . , E n (a) eine Basis von T c(a) M. Dann
bilden die Vektoren
E j (t) := P c t,a E j(a)
eine Basis von T c(t) M, und es gilt ∇E j /dt = 0. Die E j bilden also ein paralleles
Basisfeld längs c. Für X gilt dann X(t) = X j (t) E j (t) mit Komponentenfunktionen
X j ∈ C ∞ (I, R), und die kovarianten Ableitungen von X reduzieren sich auf die
Ableitungen dieser Komponenten:
Außerdem ist
( ∇ kX d =
dt) k X j
dt k E j. (15.3.4)
Pt c X(t) − X(t 0,t 0) = X j (t) Pt c E 0,t j(t) − X j (t 0 ) E j (t 0 )
= X j (t) E j (t 0 ) − X j (t 0 ) E j (t 0 )
= ( X j (t) − X j (t 0 ) ) E j (t 0 ).
Die Behauptung folgt nun aus der Taylorformel für reelle Funktionen, angewandt
auf die Komponenten X j . Diese lautet
f(t) − f(t 0 ) =
m∑ (t − t 0 ) k
f (k) (t 0 ) + R m+1
k!
k=1
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