DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Folgerung. Die zweite Fundamentalform II ist symmetrisch. Für jeden Punkt
p ∈ M ist die Weingartenabbildung L p : T p M → T p M ein selbstadjungierter Endomorphismus
des euklidischen Vektorraumes (T p M, g(p)).
Die Weingartenabbildung L fassen wir als ein (1, 1)–Tensorfeld (siehe Beispiel (b)
in 5.1) auf und schreiben
L =
2∑
L k i dw i ⊗
∂
∂w k , (11.5.3)
i,k=1
also
für
LX =
∣ 2∑
L k i (p) dw i ∂ ∣∣∣p
(X)
∂w k =
i,k=1
X =
2∑
j=1
X j
2∑
L k i (p) X i
i,k=1
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
Wir berechnen die Komponenten L i k . Sei
Y =
2∑
k=1
Y k
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
Dann ist
II(X, Y ) = g(LX, Y )
= g(X i L i j (p)
∂
∂w j ∣ ∣∣∣p
, Y k
= X i L i j (p)Y k g jk (p) .
∂
∂w k ∣ ∣∣∣p
)
Der Vergleich mit II(X, Y ) = X i Y k h ik (p) ergibt, da X, Y beliebig sind,
2∑
h ik = L j i g jk . (11.5.4)
Sei nun (g ij ) i,j=1,2 die zu (g ij ) inverse Matrix. Gleichung (11.5.4) liefert
j=1
∑
h ik g km = ∑ L j i g jk g km
k
k,j
= ∑ ( ∑
g jk g km) j
L i
j
k
= ∑ δ m j j L i
j
m
= L i
99