DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Satz. Seien φ t der Fluss von X ∈ V(M) und ψ t derjenige von Y ∈ V(M). Dann
sind folgende Aussagen äquivalent.
(a) Die Flüsse von X und Y kommutieren: φ s ◦ ψ t = ψ t ◦ φ s für alle s und t.
(b) Der Fluss von X lässt Y invariant: (φ s ) ∗ Y = Y für alle s.
(c) Die Vektorfelder X und Y kommutieren: [X, Y ] = 0.
Beweis. Die Äquivalenz der beiden ersten Aussagen steht in Lemma 3, und (b)
impliziert (c) wegen Gleichung (7.7.2). Wir zeigen, dass umgekehrt auch (c) die
Aussage (b) impliziert. Sei also [X, Y ] = 0, und sei p ∈ M. Für die durch
c(t) = ((φ t ) ∗ Y )(p) = (T φ t )Y φ−t(p)
definierte Kurve c : (−ε, ε) → T p M im Tangentialraum T p M gilt
c ′ (t) := lim
h→0
c(t + h) − c(t)
h
(T φ t+h )Y φ−(t+h) (p) − (T φ t )Y φ−t(p)
= lim
h→0 h
(T φ t ) ( )
(T φ h )Y φ−h (φ
= lim
−t(p)) − Y φ−t(p)
h→0 h
= (T φ t ) lim
h→0
(T φ h )Y φ−h (φ −t(p)) − Y φ−t(p)
h
= (T φ t ) ( − [X, Y ](φ −t (p)) )
= 0 .
Neben Lemma 2 wurde dabei auch verwendet, dass φ t+h = φ t ◦ φ h gilt. Also ist die
Kurve c konstant,
((φ t ) ∗ Y )(p) = ((φ 0 ) ∗ Y )(p) = Y (p)
und damit (φ t ) ∗ Y = Y . QED
7.8. Basisfelder. Aus Abschnitt 7.4 ist uns bekannt, dass die Basisfelder einer
Karte untereinander kommutieren. Wir verwenden nun die Ergebnisse von 7.7, um
eine Umkehrung dieser Aussage zu beweisen.
Satz. Seien X 1 , . . . , X k kommutierende differenzierbare Vektorfelder auf M, also
[X i , X j ] = 0 für alle i und j. Sei p ∈ M. Die Vektoren X 1 (p), . . . , X k (p) seien
linear unabhängig. Dann existiert eine Karte (ϕ, U) von M mit p ∈ U, deren erste
k Basisfelder mit den X i übereinstimmen, also
X i | U =
∂
∂x i für i = 1, . . . , k .
Beweis. Sei (ψ, W ) eine Karte von M mit p ∈ W und ψ(p) = 0. Seien e 1 , . . . , e n
die Standardbasisfelder des R n . (Es ist also e i = ∂/∂x i für die Karte id R n, aber
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