DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Eine Teilmenge V ⊆ R n heißt sternförmig bezüglich x 0 ∈ V , wenn für jeden Punkt
x ∈ V die Verbindungsstrecke {x 0 + t(x − x 0 ) | 0 ≤ t ≤ 1} in V enthalten ist.
Lemma 4. Sei V ⊆ R n offen und sternförmig bezüglich 0 ∈ V . Sei f ∈ C ∞ (V ).
Dann existieren Funktionen g i ∈ C ∞ (V ) (i = 1, . . . , n) mit g i (0) = ∂f/∂x i (0) und
so, dass für alle x ∈ V gilt
Beweis. Es ist
Man setzt
f(x) = f(0) +
f(x) = f(0) +
∫ 1
0
g i (x) =
n∑
x i g i (x).
i=1
∫
d
1
dt f(tx) dt = f(0) + ∂f
(tx)dt · xi
∂xi ∫ 1
0
∂f
(tx) dt.
∂xi QED
0
3.8. Wir kommen nun zum Beweis von Satz 3.6 und zeigen zunächst, dass Φ p
wohldefiniert ist. Sei (ϕ, U) eine Karte mit p ∈ U. Dann ist
Φ p ([c])f = d dt∣ (f ◦ ϕ −1 ◦ ϕ ◦ c)(t)
0
= D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p))
d(ϕ ◦ c)
(0). (3.8.1)
dt
Folglich hängt Φ p ([c])f nicht von c selbst, sondern nur von der Äquivalenzklasse [c]
ab. Dass Φ p ([c]) eine Derivation an p ist, also Φ p ([c]) ∈ T p M gilt, ergibt sich aus
der Produktregel der Differentialrechnung.
Für den Nachweis, dass Φ p : T p M → T p M eine lineare Abbildung ist, sei (ϕ, U)
eine Karte an p. Nach Gleichung (3.8.1) gilt dann
Φ p ([c])f = D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) A([c]),
mit A wie in 3.3. Da A und D(f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) lineare Abbildungen sind, ist auch
Φ p linear.
Als nächstes zeigen wir, dass Φ p injektiv ist. Ist Φ p ([c]) = 0, dann gilt nach (3.8.1)
für alle f ∈ C ∞ (M)
0 = Φ p ([c])f
= D(f ◦ ϕ −1 d(ϕ ◦ c)
)(ϕ(p)) (0)
dt
n∑ ∂(f ◦ ϕ −1 )
=
∂x i (ϕ(p)) d(ϕi ◦ c)
(0).
dt
i=1
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