DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Seien V 1 , . . . , V n parallele Vektorfelder längs c, die für jeden Wert t ∈ [a, b]
eine Basis von T c(t) M bilden, und sei J ein Vektorfeld längs c. Dann ist J = J i V i
mit gewissen Komponentenfunktionen J i , und es gilt ∇ t J = (J i ) ′ V i . Außerdem ist
R(V i , ċ)ċ = a i k V k mit Koeffizienten a i k ∈ C ∞ ([a, b]), und damit R(J, ċ)ċ = J i a i k V k .
Die Jacobigleichung ist daher äquivalent zum linearen System gewöhnlicher Differentialgleichungen
(J k ) ′′ + a i k J i = 0 (k = 1, . . . , n). (23.1.2)
Die Behauptung folgt (siehe 9.5). QED
Bemerkung. Ist ∇R = 0 auf M, dann ist R(V i , ċ)ċ ein paralleles Vektorfeld längs
c, und damit sind die Koeffizienten a k i konstant. Das Differentialgleichungssystem
(23.1.2) läßt sich dann explizit lösen. Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit
parallelem Krümmungstensor, also mit ∇R = 0, heißen lokalsymmetrische Räume.
Beispiele lokalsymmetrischer Räume sind die Räume konstanter Krümmung und
Liegruppen mit biinvarianter Riemannscher Metrik. Man folgert das leicht aus den
jeweiligen Formeln für den Krümmungstensor in (20.6.1) und 21.4.
Lemma 3. Seien J 0 , J ′ 0 ∈ T c(a)M, und sei γ : (−ε, ε) → M differenzierbar mit
˙γ(0) = J 0 . Sei H die Variation
H(s, t) = exp γ(s)
(
(t − a)P
γ
s,0 (ċ(a) + sJ ′ 0) ) . (23.1.3)
Dann ist das Variationsvektorfeld J(t) = ∂H/∂s(0, t) das Jacobifeld längs c mit den
Anfangswerten J(a) = J 0 und (∇ t J)(a) = J ′ 0 .
Insbesondere ist also jedes Jacobifeld längs c das Variationsvektorfeld einer Variation
mit geodätischen Nachbarkurven c s = H(s, ·). Um sicherzustellen, dass H auf
(−ε, ε) × [a, b] definiert ist, muß ε nötigenfalls verkleinert werden, da (M, g) nicht
als vollständig vorausgesetzt ist.
Beweis. Da die Kurven c s = H(s, ·) Geodätische sind, ist J jedenfalls ein Jacobifeld.
Zu zeigen bleibt, dass J(a) = J 0 gilt und (∇ t J)(a) = J ′ 0. Tatsächlich ist
J(a) = ∂H (0, a) =
d ∂s
ds ∣ exp γ(s) (0) = d 0
ds∣ γ(s) = J 0
0
und
(∇ t J)(a) = (∇ t ∂ s H)(0, a)
= (∇ s ∂ t H)(0, a)
∣
= ∇ ∣s=0 s P γ s,0 (ċ(a) + sJ 0 ′ )
= 0 + J 0 ′ ,
wie behauptet. QED
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