DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

und dem Mittelpunkt von B gelegener Punkt, ϱ := ‖x 1 − x 2 ‖, und sei B 2 der Ball
B 2 := B(x 2 , ϱ). Wir betrachten die Funktion
v(x) := e −α‖x−x2‖2 − e −αϱ2
mit einer später geeignet zu wählenden Konstanten α > 0. Es ist v = 0 auf dem
Rand ∂B 2 und v < 0 auf dem Komplement R n \ ¯B 2 .
Für kleine Radien 0 < ϱ ′ < ϱ ist der abgeschlossene Ball ¯B1 := ¯B(x 1 , ϱ ′ ) ⊆ U. Wir
betrachten die Funktion w := u + λv mit einer Konstante λ > 0. Auf dem Rand
∂B 1 ist w < M, wenn λ hinreichend klein gewählt wird. In der Tat ist
∂B 1 = (∂B 1 ∩ ¯B 2 ) ∪ (∂B 1 ∩ (R n \ ¯B 2 )).
Auf der Menge ∂B 1 ∩ ¯B 2 ist u < M, also, da diese Menge kompakt und v stetig ist,
auch u + λv < M für hinreichend kleines λ. Auf ∂B 1 ∩ (R n \ ¯B 2 ) hingegen ist v < 0,
also ebenfalls w < M.
Da nun w(x 1 ) = u(x 1 ) = M, aber w| ∂B1 < M ist, hat w ein Maximum in einem
Punkt x 3 ∈ B 1 . In x 3 ist ∂ i w = 0, und die Matrix ∂ i ∂ j w ist negativ semidefinit,
also impliziert das Lemma
(Lw)(x 3 ) =
n∑
a ij (x 3 ) ∂ i ∂ j w(x 3 ) ≤ 0.
i,j=1
Andererseits zeigen wir nun, dass auf B 1 gilt Lw > 0, wenn α hinreichend groß
gewählt wird—ein Widerspruch, da x 3 ∈ B 1 ist. Mit ξ := x − x 2 berechnet man
(Lv)(x) = e −α‖ξ‖2( 4α 2 ∑ i,j
a ij (x)ξ i ξ j − 2α ∑ i
a ii (x) − 2α ∑ i
b i (x) ξ i
).
Nun gilt für x ∈ K := ¯B 1
∣ ∑ b i (x)ξ i
∣ ∣ ≤ cK
∑
|ξi | ≤ c K n ‖ξ‖ ,
und außerdem nach der Dreiecksungleichung 0 < ϱ − ϱ ′ ≤ ‖ξ‖ ≤ ϱ + ϱ ′ . Daher ist
(Lv)(x) ≥ e −α‖ξ‖2( 4α 2 ε K ‖ξ‖ 2 − 2αn c K − 2αn c K ‖ξ‖ )
≥ αe −α‖ξ‖2( 4α ε K (ϱ − ϱ ′ ) 2 − 2n c K (1 + ϱ + ϱ ′ ) )
und dieser Ausdruck ist für hinreichend große α positiv. Es folgt Lw = Lu+λ Lv ≥
λ Lv > 0 auf B 1 . QED
13.2. Darbouxsche Gleichung. Seien M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, n ihre
Gaußabbildung und p 0 ∈ R 3 . Sei weiter r : M → R 3 die Abbildung r(p) := p − p 0 .
Dann erfüllt die durch
ϱ = 1 2 ‖r‖2 = 1 〈r, r〉
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