DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beispiel. Sei M = S n ⊆ R n+1 die Standardsphäre, versehen mit dem Levi–Civita–
Zusammenhang ∇ ihrer ersten Fundamentalform. Die Geodätischen von ∇ sind die
proportional zur Bogenlänge parametrisierten Großkreise (siehe Abschnitt 15.6).
Für p ∈ M ist die Abbildung exp p injektiv auf dem offenen Ball B(0, π) ⊆ T p M.
Der gesamte Rand ∂B(0, π) dieses Balles wird auf den p gegenüberliegenden Punkt
−p abgebildet, die Sphären ∂B(0, ρ) mit 0 < ρ < π auf “Breitenkreise” zwischen p
und −p.
17.6. Normalkoordinaten. Zwischen den Tangentialräumen T v V eines reellen
Vektorraumes V und dem Raum V selbst bestehen kanonische Vektorraumisomorphismen
ι v : V → T v V , die durch
ι v (w) = d dt ∣ (v + tw) (17.6.1)
0
gegeben sind. Dabei steht auf der rechten Seite der Tangentialvektor an die Kurve
t ↦→ v + tw im Punkt t = 0.
Lemma. Die Ableitung T 0 exp p : T 0 T p M → T p M der Exponentialabbildung exp p ist
der kanonische Isomorphismus ι −1
0 : T 0 T p M ∼ = T p M. Insbesondere bildet exp p eine
offene Umgebung U ⊆ T p M des Nullpunktes diffeomorph auf eine offene Umgebung
V = exp p (U) ⊆ M von p ab.
Beweis. Für X ∈ T p M gilt
(T 0 exp p )ι 0 X = (T 0 exp p ) d dt∣ (tX) = d 0
dt∣ exp p (tX) = X,
0
also in der Tat (T 0 exp p ) = ι −1
0 . Die zweite Behauptung folgt aus dem Satz über
inverse Funktionen 4.2(c). QED
Mit Hilfe des Isomorphismus ι v identifiziert man oft die Vektorräume V und T v V ,
wenn keine Missverständnisse zu befürchten sind. Die erste Aussage des Lemmas
lautet dann einfach, aber nicht ganz korrekt,
T 0 exp p = id TpM .
Sind 0 ∈ U ⊆ T p M und V = exp p (U) ⊆ M wie im Lemma, und ist A : T p M → R n
ein Vektorraumisomorphismus, dann ist
ϕ = A ◦ (exp | U ) −1 : V → R n
eine Karte. Jede solche Karte heißt ein Normalkoordinatensystem mit Zentrum p.
Normalkoordinaten bilden also die Geodätischen c(t) = exp p tX durch p in Geraden
ϕ(c(t)) = t AX durch den Ursprung im R n ab.
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