DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

zwischen Liegruppen und Liealgebren liefert eines der wichtigsten Hilfsmittel zur
Untersuchung von Liegruppen.
Aufgaben
1. Geodätische. Zeigen Sie, dass die Bilder der Geodätischen in der hyperbolischen
Ebene (M, g) aus Aufgabe 6 in Kapitel 10 genau die Halbkreise und Halbgeraden
sind, die auf der x–Achse senkrecht stehen. Zeigen Sie auch, dass (M, g)
vollständig ist.
2. Liegruppen. Sei G eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer differenzierbaren
Gruppenstruktur. Die Gruppenoperation µ : G × G → G sei differenzierbar.
Zeigen Sie, dass dann auch die Inversion ι : G → G differenzierbar, also G eine
Liegruppe ist. Hinweis: Wenden Sie den Satz über implizite Funktionen auf die
Gleichung µ(a, b) = e an.
*3. Homomorphismen. Man kann zeigen, dass jeder stetige Homomorphismus
zwischen Liegruppen sogar differenzierbar (von der Klasse C ∞ ) ist. Wir betrachten
die reelle Achse R als Liegruppe bezüglich der Addition. Zeigen Sie, dass es
unstetige Gruppenisomorphismen von R auf sich selbst gibt.
4. Matrixgruppe. Sei G = GL(n, R) mit Liealgebra G ∼ = T e G ∼ = Mat(n, R).
(a) Sei A ∈ Mat(n, R). Berechnen Sie dasjenige linksinvariante Vektorfeld X auf
G, für welches X(e) = A ist. Beachten Sie dazu, dass G eine offene Teilmenge von
Mat(n, R) = R n×n ist, so dass mit den Standardbasisfeldern ∂/∂x jk von Mat(n, R)
gilt
n∑
X = X jk ∂
∂x jk .
j,k=1
Zu bestimmen sind die Funktionen X jk .
(b) Zeigen Sie, dass die Liealgebrastruktur unter der Identifikation G ∼ = Mat(n, R)
für X, Y ∈ Mat(n, R) gegeben ist durch den Matrixkommutator
[X, Y ] = XY − Y X.
5. Repèrefelder. Sei X 1 , . . . , X n ein Repèrefeld auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
M.
(a) Zeigen Sie, dass durch Gleichung (17.8.1) ein flacher Zusammenhang ∇ 0 auf M
definiert wird, für dessen Torsionstensor T gilt T (X i , X j ) = −[X i , X j ].
(b) Zeigen Sie, dass die Geodätischen von ∇ 0 genau die Integralkurven der parallelen
Vektorfelder sind.
(c) Zeigen Sie: Ein Diffeomorphismus φ von M auf sich selbst ist genau dann affin
bezüglich ∇ 0 , wenn gilt φ ∗ X i = a k i X k mit einer konstanten Matrix (a k i ).
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