DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Ist insbesondere ∇ torsionsfrei, dann gilt im Zentrum p von Normalkoordinaten
Γ ij k (p) = 0, und die kovariante Ableitung reduziert sich in p auf die gewöhnliche
Ableitung der Komponentenfunktionen. Die Produktregel
lautet in Komponenten
∇ X (A ⊗ B) = (∇ X A) ⊗ B + A ⊗ (∇ X B)
(A i1i 2
j 1
B i3
j 2
) ,k = A i1i 2
j 1,k
B i3
j 2
+ A i1i 2
j 1
B i3
j 2,k
und da alle Kontraktionen mit kovarianter Ableitung vertauschen, kann man unzweideutig
A ij
i
,k
für die Komponenten des Tensorfeldes ∇C1 1A = C1 1∇A schreiben. Schließlich bemerken
wir noch, dass Symmetrien unter kovarianter Ableitung erhalten bleiben:
A ij = A ji impliziert A ij,k = A ji,k , weil mit dem Tensor B ij = A ij − A ji auch die
kovariante Ableitung B ij,k verschwindet.
Sei nun g eine Riemannsche Metrik. Das Skalarprodukt g(p) auf T p M induziert
ein Skalarprodukt ǧ(p) auf dem Dualraum Tp ∗ M, das durch folgende Eigenschaft
eindeutig bestimmt ist: Ist e 1 , . . . , e n eine Orthonormalbasis von T p M, dann ist die
duale Basis e ∗1 , . . . , e ∗n eine Orthonormalbasis von Tp ∗ M bezüglich ǧ(p).
Lemma. (a) Ist in lokalen Koordinaten g = g ij dx i ⊗ dx j , dann gilt ǧ = g ij ∂ i ⊗ ∂ j ,
wobei g ij die zu g ij inverse Matrix ist.
(b) Gilt ∇g = 0, dann ist auch ∇ǧ = 0.
Beweis. (a) Seien ǧ ij die Komponenten von ǧ. Wir zeigen g ij ǧ jk = δ i k . Zu diesem
Zweck betrachten wir die (unabhängig vom Koordinatensystem wohldefinierten)
Tensorfelder A = g ij ǧ jk dx i ⊗ ∂ k und E = δ i k dx i ⊗ ∂ k und zeigen, dass A = E
ist. Sei dazu p ∈ M. Dann existiert ein Koordinatensystem an p, so dass für die
entsprechenden Komponenten von g gilt g jk (p) = δ jk . Dann ist offensichtlich auch
ǧ jk = δ jk , und es folgt A(p) = E(p).
(b) Nach der Produktregel gilt
0 = (g ij g jk ) ,l
= g ij ,l g jk + g ij g jk,l
= g ij ,l g jk .
Multiplikation beider Seiten mit g km mit anschließender Summation über k ergibt
0 = g im ,l, und mit (a) folgt ǧ im ,l = 0. QED
Sei nun etwa
A = A ij k dx i ⊗ dx j ⊗ ∂ k
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