DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

14.6. Kovariante Ableitung von Tensorfeldern. Sei ∇ ein Zusammenhang
auf M. Für jedes Vektorfeld X ∈ V lässt sich die kovariante Ableitung ∇ X nach X,
die zunächst nur auf Vektorfelder wirkt, auf beliebige differenzierbare Tensorfelder
erweitern. Ähnlich wie bei der Lieableitung L X in Abschnitt 7.9 kann man diese
Erweiterung durch folgende Eigenschaften charakterisieren:
(1) Die kovariante Ableitung ∇ X nach X bildet die Menge der differenzierbaren
(r, s)–Tensorfelder R–linear in sich selbst ab.
(2) ∇ X erfüllt die Produktregel für das Tensorprodukt:
∇ X (A ⊗ B) = (∇ X A) ⊗ B + A ⊗ (∇ X B) .
(3) ∇ X vertauscht mit Kontraktionen: Für jede Kontraktion C ν µ gilt
∇ X ◦ C ν µ = C ν µ ◦ ∇ X .
(4) Für (0, 0)–Tensorfelder, also Funktionen, gilt ∇ X f = Xf.
(5) Für (0, 1)–Tensorfelder, also Vektorfelder, ist ∇ X Y die durch den Zusammenhang
gegebene kovariante Ableitung.
Man beachte, dass sich ∇ X nur in Eigenschaft (5) von der Lieableitung L X unterscheidet.
Aus (2) und (3) ergibt sich insbesondere, dass ∇ X auch die Produktregel
für Überschiebungen Cν µ (A ⊗ B) erfüllt. Ist zum Beispiel g ein (2, 0)–Tensorfeld,
und sind Y, Z ∈ V Vektorfelder, dann ist g(Y, Z) die Funktion
Nach (2) und (3) folgt dann
g(Y, Z) = C1 1 C2 2 (g ⊗ Y ⊗ Z).
X(g(Y, Z)) = (∇ X g)(Y, Z) + g(∇ X Y, Z) + g(Y, ∇ X Z), (14.6.1)
und das ist eine explizite Beschreibung von ∇ X g.
Für ein (r, s)–Tensorfeld A definiert man ein (r + 1, s)–Tensorfeld ∇A durch die
über C ∞ (M) multilineare Abbildung (siehe 6.7)
∇A : V × . . . × V × V ∗ × . . . × V ∗ → C ∞ (M),
(∇A)(X 1 , . . ., X r+1 , α 1 , . . . , α s )
:= (∇ Xr+1 A)(X 1 , . . . , X r , α 1 , . . . , α s ).
(14.6.2)
∇A heißt die kovariante Ableitung von A. Wir betrachten Spezialfälle. Zunächst
ist für Funktionen f ∈ C ∞ (M) offenbar (∇f)(X) = ∇ X f = Xf = df(X), also ist
∇f = df,
unabhängig von der Wahl des Zusammenhanges ∇.
(2, 0)–Tensorfeld ∇α gegeben durch
Für Eins–Formen α ist das
(∇α)(X, Y ) = (∇ Y α)(X)
= ∇ Y (α(X)) − α(∇ Y X)
= Y (α(X)) − α(∇ Y X).
(14.6.3)
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