DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Ist speziell 〈J, ċ 〉 = 0, dann lautet die Jacobigleichung
∇ t ∇ t J + κ ‖ċ‖ 2 J = 0. (23.2.1)
Sei V 1 , . . . , V n wie im Beweis von 23.1 Lemma 2 ein längs c paralleles Repèrefeld.
Für die durch J = J i V i definierten Komponenten von J ergibt sich das System
(J k ) ′′ + κ ‖ċ‖ 2 J k = 0.
Mit J(t) = P c t,a(
J k (t)V k (a) ) erhält man die Lösung explizit als
J(t) = P c t,a
(
cos (√ κ ‖ċ‖ (t − a) ) J(a) + sin (√ κ ‖ċ‖ (t − a) ) )
√ (∇ t J)(a)
κ ‖ċ‖
falls κ > 0 ist. Im Fall κ < 0 sind in dieser Formel κ durch −κ, sin durch sinh und
cos durch cosh zu ersetzen, also
J(t) = P c t,a
(
cosh (√ −κ ‖ċ‖ (t − a) ) J(a) + sinh (√ −κ ‖ċ‖ (t − a) )
√ −κ ‖ċ‖
Für κ = 0 schließlich lautet die Lösung
J(t) = P c t,a(
J(a) + (t − a)(∇t J)(a) ) .
)
(∇ t J)(a) .
23.3. Konjugierte Punkte und negative Krümmung. Ein Punkt c(t) einer
Geodätischen c : [a, b] → M heißt zu c(a) konjugiert längs c, oder etwas ungenauer:
ein konjugierter Punkt von c, wenn ein Jacobifeld J ≠ 0 längs c existiert mit J(a) =
0 und J(t) = 0. Wegen Lemma 4(a) in 23.1 ist dann 〈J, ċ 〉 = 0. Aus dem Korollar
in 23.1 ergibt sich:
Lemma. Der Punkt exp p (X) ist genau dann zu p konjugiert längs der Geodätischen
γ(t) = exp p (tX), wenn Kern(T X exp p ) ≠ {0} ist.
Die Dimension des Raumes der Jacobifelder längs c mit J(a) = 0 und J(t) = 0 nennt
man die Multiplizität des konjugierten Punktes. In der Situation des Lemmas ist
das die Dimension des Kernes von T X exp p .
Proposition. In Riemannschen Mannigfaltigkeiten (M, g) mit Schnittkrümmung
K ≤ 0 haben Geodätische keine konjugierten Punkte. Insbesondere ist für jeden
Punkt p ∈ M die Abbildung exp p : ˜T p M → M ein lokaler Diffeomorphismus.
Beweis. Sei J ≠ 0 ein Jacobifeld längs c mit J(a) = 0. Dann ist
〈J, J 〉 ′′ = 2〈∇ t J, J 〉 ′
= 2〈∇ t ∇ t J, J 〉 + 2 ‖∇ t J‖ 2
= −2〈R(J, ċ)ċ, J 〉 + 2 ‖∇ t J‖ 2
≥ 0.
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