DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

heißt die Weingartenabbildung oder der Shape–Operator der orientierten Fläche M.
Das mit Hilfe der ersten Fundamentalform g von M durch
II(X, Y ) = g(LX, Y ) = g(−∇ X ν, Y )
definierte (2, 0)–Tensorfeld II auf M heißt die zweite Fundamentalform von M.
Der Vektor LX p misst die “Kippgeschwindigkeit” der Normalen ν in Richtung X p ∈
T p M. Sowohl ν als auch L und II ändern offenbar das Vorzeichen bei Wechsel der
Orientierung von M.
11.5. Berechnung von L und II. Sei ψ : W → U ⊆ M eine orientierungserhaltende
lokale Parametrisierung. Dann ist
II =
2∑
h ik dw i ⊗ dw k (11.5.1)
i,k=1
mit gewissen Funktionen h ik auf U. Wir berechnen die Komponenten h ik . Zunächst
ist
( ∣ ∣ ∂ ∣∣∣p ∂ ∣∣∣p )
h ik (p) = II
∂w i ,
∂w k
(
= g − ∇ ∂
|
ν,
∂w i p
= −g R 3
( 3∑
l=1
∣
∂ ∣∣∣p )
∂w k
( ∂
∂w i ∣ ∣∣∣p
n l)
∂
∂x l ∣ ∣∣∣p
,
3∑ ∂ψ m
∂w k (w) ∂
)
∂x m | p
Dabei ist p = ψ(w), die n l sind die in Abschnitt 11.2 definierten Komponenten von
ν, und wir haben Gleichung (10.2.1) verwendet. Wegen
m=1
∣
∂ ∣∣∣p
∂w i n l = ∂(nl ◦ ψ)
∂w i (w)
ergibt sich, wenn wir das Standardskalarprodukt des R 3 mit spitzen Klammern
bezeichnen,
3∑ ∂(n l ◦ ψ)
h ik (p) = −
∂w i (w) ∂ψl
∂w k (w)
l=1
〈 ∂(n ◦ ψ) ∂ψ
〉
= −
∂w i (w),
∂w k (w) 〈
∂ 2 ψ
〉
= (n ◦ ψ)(w),
∂w i ∂w k (w) .
Das Resultat lautet also
h ik (p) =
〈
∂ 2 ψ
〉
n(p),
∂w i ∂w k (ψ−1 (p)) . (11.5.2)
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