DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

5. Vorgeschriebene Torsion. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, und
sei A : V × V → V ein differenzierbares (2, 1)–Tensorfeld mit A(X, Y ) = −A(Y, X)
für alle Vektorfelder X, Y ∈ V. Zeigen Sie: Es existiert genau ein Zusammenhang
∇ auf M mit ∇g = 0, dessen Torsionstensor mit A übereinstimmt.
6. Normalenbündel. Nach Aufgabe 6 von Kapitel 6 ist das Normalenbündel
T M ⊥ ⊆ T N einer Untermannigfaltigkeit M ⊆ N einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
N ein Vektorbündel. Sei Π ⊥ : T N| M → T M ⊥ die faserweise orthogonale
Projektion, und sei ∇ der Levi–Civita–Zusammenhang von N. Dann definiert
∇ ⊥ X ξ = Π⊥ ◦ ∇ X ξ
für X ∈ V(M) und ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) einen Zusammenhang ∇ ⊥ auf dem Bündel T M ⊥ .
Man bezeichnet ∇ ⊥ als den normalen Zusammenhang auf T N ⊥ .
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