DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

15. Parallelverschiebung
Ein Zusammenhang ∇ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ermöglicht
es, Tangentialvektoren entlang gegebener Kurven parallel zu verschieben. Man
erhält auf diese Weise für jede Kurve c Vektorraumisomorphismen zwischen den
verschiedenen Tangentialräumen T c(t) M. Diese Parallelverschiebung längs Kurven
stellt also einen “Zusammenhang” her zwischen den sonst unabhängigen Tangentialräumen
an verschiedenen Punkten, und das ist auch der Ursprung der zunächst
wenig naheliegenden Terminologie.
In diesem Kapitel führen wir zunächst den Begriff des Vektorfeldes längs einer Kurve
in M ein und erklären dann, wie man solche Vektorfelder kovariant differenziert. Mit
Hilfe dieser kovarianten Ableitung definieren wir dann die Parallelverschiebung längs
Kurven. Es ergibt sich eine Version der Taylorformel für Vektorfelder längs Kurven,
und eine Deutung der Bedingung ∇g = 0 mit Hilfe der Parallelverschiebung.
Danach gehen wir auf den Begriff der Geodätischen eines Zusammenhanges ein.
Das Kapitel schließt mit einer kurzen Erläuterung der Parallelverschiebung in allgemeinen
Vektorbündeln.
15.1. Vektorfelder längs Kurven. Sei I ⊆ R ein Intervall, und sei c : I → M
eine differenzierbare Kurve in einer Mannigfaltigkeit M. Ein differenzierbares Vektorfeld
längs c ist eine differenzierbare Abbildung X : I → T M mit π◦X = c. Dabei
bezeichnet π : T M → M die Projektion des Tangentialbündels von M, so dass also
X(t) ∈ T c(t) M ist für alle t ∈ I. Ist allgemeiner A eine Menge und ϕ : A → M
eine Abbildung, dann bezeichnet man Abbildungen X : A → T M mit π◦X = ϕ als
Vektorfelder längs der Abbildung ϕ.
Beispiele. (a) Ist Y ∈ V(M), dann ist Y ◦c ein Vektorfeld längs c.
(b) Das Tangentialvektorfeld t ↦→ ċ(t) ist ein Vektorfeld längs c. In lokalen Koordinaten
(ϕ, U) gilt nach (4.4.1)
ċ(t) = d(ϕi ◦c)
(t)
dt
∂
∂x i ∣
∣∣∣c(t)
.
Ist ∇ ein Zusammenhang auf M, dann ist für Y ∈ V(M) auch
ein Vektorfeld längs c.
∇ċ Y : t ↦→ ∇ċ(t) Y
Satz. Seien ∇ ein Zusammenhang auf M und c : I → M eine differenzierbare
Kurve. Dann existiert genau eine Abbildung X ↦→ ∇X/dt des Raumes der differenzierbaren
Vektorfelder längs c in sich mit den folgenden Eigenschaften:
(1)
Version: 18. Februar 2000
∇(X + Y )
dt
= ∇X
dt
146
+ ∇Y
dt