DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

dass 〈r, n〉 = 〈˜r, ñ〉 ist. Lemma 1(3) zeigt dann h ij = ˜h ij , und für die zweiten
Fundamentalformen folgt
wie behauptet. QED
II M | U = h ij dw i ⊗ dw j
= ¯h ij ◦f dw i ⊗ dw j
= f ∗ (¯h ij d ¯w i ⊗ d ¯w j )
= f ∗ (II ∣
¯M f(U)
),
13.4. Eiflächen. Wir betrachten nun Eiflächen, also kompakte zusammenhängende
differenzierbare Flächen im R 3 mit überall positiver Gaußkrümmung. Eine Teilmenge
A ⊆ R n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte aus A auch deren Verbindungsstrecke
in A enthalten ist.
Satz (Hadamard). Sei M ⊆ R 3 eine Eifläche. Dann ist M orientierbar, und für
jede Wahl einer Orientierung ist die Gaußabbildung n : M → S 2 ein Diffeomorphismus.
Beweis. Man wähle als Einheitsnormalenfeld n etwa dasjenige, für das die beiden
Hauptkrümmungen positiv sind. Nennt man Basen (X 1 , X 2 ) von T p M positiv orientiert,
wenn (X 1 , X 2 , n(p)) eine positiv orientierte Basis von T p R 3 bezüglich der
Standardorientierung ist, so erhält man eine Orientierung von M.
Nach Abschnitt 12.5 hat die Ableitung T p n maximalen Rang in jedem Punkt von
M. Also ist n ein lokaler Diffeomorphismus. Daraus folgt, dass das Bild n(M) eine
offene Teilmenge von S 2 ist. Andererseits ist n(M) kompakt, da M kompakt ist
und n stetig. Also ist n(M) auch eine abgeschlossene Teilmenge von S 2 , und da S 2
zusammenhängend ist, folgt n(M) = S 2 . Die Gaußabbildung ist also surjektiv und
ein lokaler Diffeomorphismus.
Es bleibt zu zeigen, dass n injektiv ist. Wir skizzieren einen direkten Beweis, ohne
die Einzelheiten auszuführen. Man vergleiche dazu etwa Klingenberg ([Kl1], S.131).
Seien p 0 und p 1 Punkte in M mit n(p 0 ) = n(p 1 ) = ˜p. Wir wählen eine stetige Kurve
c 0 : [0, 1] → M, die p 0 mit p 1 verbindet. Die Bildkurve ˜c 0 = n ◦ c 0 ist eine Schleife
am Punkt ˜p. Da S 2 einfach zusammenhängend ist, lässt sich diese Schleife stetig
auf den Punkt ˜p zusammenziehen. Man erhält also eine stetige Familie (genauer:
Homotopie) ˜c s (0 ≤ s ≤ 1) von Schleifen an ˜p dergestalt, dass ˜c 1 die konstante
Kurve mit Wert ˜p ist. Den Kurven ˜c s entsprechen “geliftete” Kurven c s in M mit
n ◦ c s = ˜c s , die alle p 0 mit p 1 verbinden. Da c 1 eine konstante Kurve sein muss,
folgt p 0 = p 1 . QED
Exkurs: Überlagerungen. Die Injektivität der Gaußabbildung folgt aus allgemeinen
Eigenschaften von Überlagerungen. Eine (differenzierbare) Überlagerung
von Mannigfaltigkeiten ist eine surjektive differenzierbare Abbildung f : M → N
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