DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

ein solches Tensorfeld auf einer Mannigfaltigkeit N, und ist φ ∈ C ∞ (M, N), dann
heißt das durch
(φ ∗ A)(X 1 , X 2 ) = A((T φ)X 1 , (T φ)X 2 ) (10.8.1)
für X 1 , X 2 ∈ T p M und p ∈ M definierte Tensorfeld φ ∗ A auf M der Pullback von A
unter φ.
Seien nun (M, g) und (N, h) Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare
Abbildung φ : M → N heißt eine isometrische Immersion, wenn φ eine Immersion
ist und gilt φ ∗ h = g. Isometrische Immersionen, die Einbettungen sind, nennt
man isometrische Einbettungen, und isometrische Immersionen zwischen Mannigfaltigkeiten
derselben Dimension heißen lokale Isometrien. Die Abbildung φ heißt
eine Isometrie, wenn φ : M → N ein Diffeomorphismus ist und gilt φ ∗ h = g.
Schließlich nennt man (M, g) und (N, h) isometrisch, wenn eine Isometrie von M
auf N existiert.
Bemerkungen. (a) Nach Definition des Pullbacks ist die Abbildung φ : M → N
genau dann eine isometrische Immersion, wenn sie Skalarprodukte von Vektoren
respektiert, wenn also für alle p ∈ M und alle X, Y ∈ T p M gilt
h(φ(p))((T p φ)X, (T p φ)Y ) = g(p)(X, Y ) .
Es ergibt sich insbesondere, dass die erste Fundamentalform g einer Fläche M im
R 3 (oder einer Untermannigfaltigkeit des R n ) der Pullback der Standardmetrik
g R 3 unter der Inklusionsabbildung ι : M → R 3 ist. Daher ist ι eine isometrische
Einbettung von (M, g) in (R 3 , g R 3).
(b) Die Abbildung φ ist genau dann eine lokale Isometrie, wenn zu jedem Punkt
p ∈ M eine Umgebung U von p existiert, so dass die Einschränkung φ| U : U → φ(U)
eine Isometrie ist. Das ergibt sich unmittelbar aus dem Satz 4.2.(c) über inverse
Funktionen.
(c) Ist φ eine isometrische Immersion, dann gilt L(φ ◦ c) = L(c) für alle differenzierbaren
Kurven c in M. Nach Abschnitt 4.4 ist nämlich
(φ ◦ c)˙(t) = T t (φ ◦ c) d (
dt ∣ = (T c(t) φ) (T t c) d ) t
dt∣ = (T c(t) φ)ċ(t) ,
t
und daher
L(φ ◦ c) =
=
=
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
= L(c) .
‖(φ ◦ c)˙(t)‖ dt
‖(T φ)ċ(t)‖ dt
‖ċ(t)‖ dt
(d) Die Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit auf sich selbst bilden offensichtlich
eine Gruppe, die Isometriegruppe Isom(M, g) von (M, g).
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