DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

8. Partitionen der Eins und ihre Anwendung
Partitionen der Eins sind Zerlegungen der konstanten Funktion “Eins” auf M als
Summe differenzierbarer nichtnegativer Funktionen. Solche Zerlegungen lassen sich
angepasst an eine vorgegebene Überdeckung von M bilden und erleichtern viele
Konstruktionen der Differentialgeometrie. Wir illustrieren das an typischen Beispielen:
der Fortsetzung von Vektorfeldern, die auf einer Untermannigfaltigkeit gegeben
sind; der Konstruktion Riemannscher Metriken; der Einbettung differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten in einen R k ; und der Approximation stetiger Funktionen durch
differenzierbare.
8.1. Offene Überdeckungen. Eine offene Überdeckung eines topologischen
Raumes M ist eine Menge
O = { U α | α ∈ Λ }
offener Teilmengen U α von M mit der Eigenschaft ⋃ α∈Λ U α = M. Die Überdeckung
heißt lokal endlich, wenn jeder Punkt p ∈ M eine Umgebung U besitzt mit U ∩U α =
∅ für alle bis auf endlich viele α ∈ Λ. Eine offene Überdeckung O′ = { V β | β ∈ I }
heißt eine Verfeinerung von O, wenn zu jedem Index β ∈ I ein α ∈ Λ existiert mit
V β ⊆ U α , wenn also jede Menge aus O ′ in einer Menge aus O enthalten ist.
8.2. Kompakte Ausschöpfung. Jede topologische Mannigfaltigkeit besitzt eine
Ausschöpfung durch kompakte Teilmengen in folgendem Sinne. Es existieren kompakte
Teilmengen C i ⊆ M (i ∈ N) dergestalt, dass C i im Inneren Ci+1 ◦ von C i+1
enthalten ist und dass ⋃ ∞
i=1 C i = M gilt. Zur Konstruktion solcher C i findet man
zunächst eine abzählbare offene Überdeckung { G i | i ∈ N } von M dergestalt,
dass die Abschlüsse G i kompakt sind. Für diese G i kann man etwa die Urbilder
geeigneter offener Bälle im R n unter Karten verwenden. Dann setzt man C 1 = G 1 .
Ist nun C i bereits konstruiert, und ist k die kleinste Zahl mit C i ⊆ ⋃ k
j=1 G j, dann
definiert man
C i+1 = G i+1 ∪
k⋃
G j .
8.3. Lemma. Sei (M, A) eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, und sei O =
{ U α | α ∈ Λ } eine offene Überdeckung von M. Dann existiert ein Atlas
von M mit folgenden Eigenschaften.
j=1
{ (ϕ β , V β ) | β ∈ I } ⊆ A
(a) Die Überdeckung { V β | β ∈ I } ist eine lokal endliche Verfeinerung von O.
(b) Das Bild ϕ β (V β ) ist der Ball B(0, 3) = { x ∈ R n | ‖x‖ < 3 }.
Version: 18. Februar 2000
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