DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

gilt
((T p f)X)(gh) = X((g ◦ f)(h ◦ f))
= h(f(p)) X(g ◦ f) + g(f(p)) X(h ◦ f)
= h(f(p)) ((T p f)X)g + g(f(p)) ((T p f)X)h,
wie behauptet. Die Linearität von T p f ergibt sich unmittelbar aus der Definition.
Um die Wohldefiniertheit von Tp geo f in (b) zu beweisen, verifizieren wir, dass c 1 ∼ c 2
impliziert f ◦ c 1 ∼ f ◦ c 2 . Seien dazu (ϕ, U) eine Karte an p und (ψ, V ) eine Karte
an f(p). Dann gilt
d
dt ∣ (ψ ◦ f ◦ c 1 ) = d 0
dt∣ (ψ ◦ f ◦ ϕ −1 ) ◦ (ϕ ◦ c 1 )
0
= D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) · d(ϕ ◦ c 1)
(0)
dt
= D(ψ ◦ f ◦ ϕ −1 )(ϕ(p)) · d(ϕ ◦ c 2)
(0)
dt
= d dt∣ (ψ ◦ f ◦ c 2 ).
0
Die Linearität von Tp
geo f ergibt sich aus der Beschreibung der Vektorraumstruktur
von Tp
geo M in 3.3, oder auch aus (a) und (c), da Φ p ein Vektorraumisomorphismus
ist. Der einfache Beweis von (c) bleibt dem Leser überlassen. QED
4.2. Eigenschaften. Wichtige Eigenschaften der Ableitung werden beschrieben
durch die Kettenregel, den Satz über inverse Funktionen und allgemeiner den Rangsatz
(Aufgabe 3). Sei p ∈ M.
(a) Kettenregel. Sind f : M → N und h : N → P differenzierbar, dann ist h ◦ f
differenzierbar und
T p (h ◦ f) = T f(p) h ◦ T p f
Tp
geo (h ◦ f) = T geo
f(p) h ◦ T p
geo f
(b) Ist f : M → N ein Diffeomorphismus, dann ist T p f (und damit auch T geo
p f)
bijektiv für alle p ∈ M.
(c) Satz über inverse Funktionen. Ist T p f bijektiv, dann gibt es Umgebungen
U von p und V von f(p) so, dass f| U : U → V ein Diffeomorphismus ist.
Beweis. (a) Die Differenzierbarkeit von h ◦ f wurde in 1.11 gezeigt, die weiteren
Aussagen sind offensichtlich. (b) Es ist f ◦ f −1 = id N und f −1 ◦ f = id M . Auf
diese Gleichungen wendet man (a) an und erhält T p f ◦ T f(p) (f −1 ) = id Tf(p) N und
T f(p) (f −1 ) ◦ T p f = id TpM . Also ist T p f bijektiv mit inverser Abbildung T f(p) (f −1 ).
Die entsprechende Behauptung für Tp
geo f folgt nun aus 4.1(c). Den Satz über inverse
Funktionen in (c) beweist man durch Zurückführen auf die entsprechende Aussage
in 2.1 mit Hilfe von Karten. QED
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