DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Nach Abschnitt 4.4 ist
˙ C(t) =
2n∑
i=1
d( ¯ϕ i ◦C)
(t)
dt
∂
∂z i ∣
∣∣∣C(t)
,
wobei ∂/∂z i die Basisfelder der Karte ¯ϕ sind. Daraus folgt (17.3.1), und (17.3.2)
ist ein Spezialfall mit
C(t) = ċ(t) =
n∑
i=1
dc i
dt (t)
∂
∂x i ∣
∣∣∣c(t)
.
17.4. Der geodätische Fluss. Wir verwenden die Notation aus Abschnitt 17.3.
Lemma. Sei (ϕ, U) eine Karte an p ∈ M, und sei
X = X i
Wir definieren X (X) ∈ T X M durch
X (X) = X k
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
∈ T p M.
∂
∂x k ∣ ∣∣∣X
− Γ ij k (p) X i X j
∂
∂X k ∣ ∣∣∣X
. (17.4.1)
Dann ist X (X) unabhängig von der Wahl der Karte, und die so definierte Abbildung
X : T M → T T M ist ein differenzierbares Vektorfeld auf T M.
Beweis. Das Lemma in 17.3 zeigt, dass für die Geodätische c X mit ċ X (0) = X gilt
X (X) = ¨c X (0). Da ¨c X (0) nicht von der Wahl einer Karte abhängt, gilt dasselbe für
X (X). Die Differenzierbarkeit des Vektorfeldes X ergibt sich aus der Differenzierbarkeit
seiner Komponenten bezüglich der Basisfelder ∂/∂x i und ∂/∂X i der Karten
( ¯ϕ, T M| U ),
X = ¯ϕ n+k ∂
∂x k − Γ ij k ◦π ¯ϕ n+i ¯ϕ n+j ∂
∂X k . (17.4.2)
Definitionen. Das Vektorfeld X heißt der geodätische Spray des Zusammenhangs
∇. Der Fluss φ von X heißt der geodätische Fluss. Ein Zusammenhang ∇ heißt
vollständig, wenn der geodätische Spray X ein vollständiges Vektorfeld im Sinne
von Abschnitt 7.5 ist, wenn also der geodätische Fluss φ auf ganz R × T M definiert
ist.
Satz. Eine Kurve c in M ist eine Geodätische von ∇ genau dann, wenn ihr Tangentialvektorfeld
ċ eine Integralkurve des geodätische Sprays ist. Ist C : I → T M eine
beliebige Integralkurve des geodätische Sprays, dann ist c = π ◦ C eine Geodätische
mit ċ = C.
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