DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Dann ist
II(X, Y ) = 〈s(X, Y ), ν〉 = 〈 ( ¯∇ X Y ) ⊥ , ν〉 = 〈 ¯∇ X Y, ν〉
= X〈Y, ν〉 − 〈Y, ¯∇ X ν〉
= −〈Y, ¯∇ X ν〉
Mit der Weingartenabbildung L : T M → T M, die durch
definiert ist, gilt also
L(X) = − ¯∇ X ν (20.9.2)
II(X, Y ) = 〈LX, Y 〉. (20.9.3)
Der Vergleich mit Abschnitt 15.4 zeigt, dass II im Fall von Flächen im R 3 mit der
dort definierten zweiten Fundamentalform übereinstimmt. Wegen der Symmetrie
von II ist die Weingartenabbildung L p := L| TpM selbstadjungiert bezüglich g(p),
also reell diagonalisierbar. Die Eigenwerte κ 1 (p), . . . , κ n (p) von L p nennt man die
Hauptkrümmungen von M ⊆ ¯M im Punkt p.
20.10. Hyperflächen im R n+1 . Wir gehen noch etwas näher auf den Fall von
Hyperflächen im R n+1 ein. In diesem Fall ist die Schnittkrümmung ¯K = 0, und
daher nach der Gaußgleichung (20.8.3)
K(X, Y ) =
II(X, X) II(Y, Y ) − II(X, Y )2
‖X‖ 2 ‖Y ‖ 2 − 〈X, Y 〉 2 (20.10.1)
in Übereinstimmung mit Abschnitt 12.4. Außerdem ist der Krümmungstensor ¯R =
0, also nach (20.8.1)
0 = ¯R(X, Y )Z
= R(X, Y )Z + X(II(Y, Z)) ν + II(Y, Z) ¯∇ X ν
− Y (II(X, Z)) ν + II(X, Z) ¯∇ Y ν
+ II(X, ∇ Y Z) ν − II(Y, ∇ X Z) ν − II([X, Y ], Z) ν.
Der an M tangentielle und der zu M normale Anteil der rechten Seite müssen beide
verschwinden. Für den tangentiellen Teil ergibt sich mit ¯∇ X ν = −LX die Gleichung
von Gauß
R(X, Y )Z = 〈LY, Z〉LX − 〈LX, Z〉LY. (20.10.2)
Der normale Anteil liefert wegen
X(II(Y, Z)) = (∇ X II)(Y, Z) + II(∇ X Y, Z) + II(Y, ∇ X Z)
und wegen T (X, Y ) = 0 die Codazzi–Mainardi–Gleichung
(∇ X II)(Y, Z) − (∇ Y II)(X, Z) = 0. (20.10.3)
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