DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

haben (Aufgabe 1). In diesem Sinne ist die Isomorphieklasse der Fundamentalgruppe
eine “topologische Invariante” des Raumes, d.h. invariant unter Homöomorphismen.
Der folgende Satz gestattet es oft, die Fundamentalgruppe eines
Raumes zu bestimmen, dessen universelle Überlagerung bekannt ist.
Satz. Die Deckgruppe jeder universellen Überlagerung π : ˜M → M einer zusammenhängenden
Mannigfaltigkeit ist zur Fundamentalgruppe π 1 (M, p) isomorph.
Beweisskizze. Wir definieren einen Gruppenisomorphismus Ψ : Deck → π 1 (M, p)
wie folgt. Sei ˜p ∈ π −1 (p). Für γ ∈ Deck sei c eine Kurve von γ(˜p) nach ˜p. Da ˜M
einfach zusammenhängend ist, sind je zwei solche Kurven homotop. Dann ist π ◦ c
eine Schleife an p, also [π ◦ c] ∈ π 1 (M, p). Wir setzen Ψ(γ) = [π ◦ c]. Man verifiziert,
dass Ψ ein bijektiver Gruppenhomomorphismus ist. QED
Da die Blätterzahl einer universellen Überlagerung mit der Mächtigkeit ihrer Deckgruppe,
also mit der Mächtigkeit von π 1 (M, p) übereinstimmt, ergibt sich als
Folgerung. Die universelle Überlagerung einer kompakten zusammenhängenden
Mannigfaltigkeit M ist genau dann kompakt, wenn die Fundamentalgruppe π 1 (M, p)
endlich ist.
22.5. Riemannsche Überlagerungen. Eine Riemannsche Überlagerung ist eine
Überlagerung π : ¯M → M Riemannscher Mannigfaltigkeiten ( ¯M, ḡ) und (M, g), die
gleichzeitig eine lokale Isometrie ist, für die also π ∗ g = ḡ gilt. Ist π : ¯M → M eine
Überlagerung einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g),
dann wird π mit der Riemannschen Metrik ḡ := π ∗ g auf ¯M zu einer Riemannschen
Überlagerung. Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) besitzt also eine Riemannsche
universelle Überlagerung ( ˜M, ˜g), und diese ist bis auf fasertreue Isometrie
eindeutig bestimmt.
Für Decktransformationen φ ∈ Deck einer Riemannschen Überlagerung gilt wegen
π ◦ φ = π
φ ∗˜g = φ ∗ π ∗ g = (π ◦ φ) ∗ g = π ∗ g = ˜g.
Also sind alle Decktransformationen Isometrien der induzierten Metrik ˜g. Mit de
Ergebnissen aus 22.3 und 22.4 ergibt sich:
Folgerung. Jede zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g) ist isometrisch
zum Quotienten einer einfach zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit
( ˜M, ˜g) nach einer frei und eigentlich diskontinuierlich operierenden
Gruppe Γ von Isometrien. Die Gruppe Γ ist isomorph zur Fundamentalgruppe von
M.
Ist umgekehrt Γ eine eigentlich diskontinuierlich und frei operierende Gruppe von
Isometrien einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ( ¯M, ḡ) dann existiert auf der Quotientenmannigfaltigkeit
Γ\ ¯M offenbar genau eine Riemannsche Metrik g, mit der
die kanonische Projektion ¯M → Γ\ ¯M zur Riemannschen Überlagerung wird.
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