DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

in ˜T M enthalten ist. Geodätische γ mit γ(0) ∈ B und ‖ ˙γ(0)‖ = 1 sind also
zumindest auf dem Intervall (−ε, ε) definiert. Wir wählen t ′ mit t 0 − ε 2 < t′ < t 0 .
Dann ist c(t ′ ) ∈ B, weil
d(c(t ′ ), q) = lim
i→∞
d(c(t ′ ), c(t i )) ≤ lim
i→∞
|t ′ − t i | < ε/2.
Sei γ : (−ε, ε) → M die Geodätische mit ˙γ(0) = ċ(t ′ ). Dann ist die Kurve
{
c(t), falls 0 ≤ t ≤ t
′
˜c(t) =
γ(t − t ′ ), falls t ′ ≤ t < t ′ + ε
eine auf [0, t ′ +ε) definierte Fortsetzung von c. Es folgt t ′ + ε 2 ∈ J X, im Widerspruch
zu t ′ + ε 2 > t 0 = sup J X .
(d)⇒(a) Offensichtlich. QED
19.3. Konvexe Umgebungen. Da der Torsionstensor des Levi–Civita–Zusammenhanges
verschwindet, ist die Hessesche ∇df jeder Funktion f ∈ C ∞ (M) (siehe
14.8) ein symmetrisches (2, 0)–Tensorfeld. Die Funktion f heißt konvex auf M, wenn
(∇df)(p) für jeden Punkt p ∈ M positiv semidefinit ist. Sie heißt streng konvex,
wenn ∇df überall positiv definit ist.
Lemma 1. Eine Funktion f ∈ C ∞ (M) ist genau dann streng konvex, wenn für
jede nichtkonstante Geodätische c in M gilt
d 2
(f ◦c) > 0.
dt2 Beweis. Zunächst ist die erste Ableitung (d/dt)f(c(t)) = df(ċ(t)). Nun verwenden
wir die kovariante Ableitung von Tensorfeldern längs Kurven aus 15.4:
Die Behauptung folgt. QED
d 2
dt 2 f(c(t)) = ∇ ( )
df(ċ(t))
dt
= ∇(df) ( ∇ċ
)
(ċ(t)) + df
dt
dt (t)
= ( ∇ċ(t) df ) (ċ(t))
= (∇df)(ċ(t), ċ(t)).
Riemannsche Normalkoordinaten mit Zentrum p ∈ M sind lokale Koordinatensysteme
ϕ : B(p, ϱ) → R n der Form
( ∣ −1
ϕ = A ◦ exp ∣Bp(0,ϱ)) p (19.3.1)
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