DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

11. Gaußabbildung und zweite Fundamentalform
Neben der durch die erste Fundamentalform beschriebenen inneren Geometrie einer
Fläche M im R 3 gibt es geometrische Eigenschaften, die isometrische, nicht kongruente
Flächen (wie z. B. ein Kreiszylinderstück und ein dazu isometrisches ebenes
Gebiet) voneinander unterscheiden. Diese “extrinsischen” Eigenschaften leiten sich
ab von der Gaußabbildung, einer Abbildung von M in die zweidimensionale Einheitssphäre,
die jedem Punkt p von M im wesentlichen einen Einheitsnormalenvektor
n(p) der Fläche in p zuordnet. Wie n(p) sich in Abhängigkeit von p ändert, wird
beschrieben durch die Weingartenabbildung von M, aus der ein (2, 0)–Tensorfeld,
die zweite Fundamentalform von M gebildet wird. Diese zweite Fundamentalform
ist im nächsten Kapitel Ausgangspunkt der Krümmungstheorie für Flächen.
Im vorliegenden Abschnitt führen wir nach allgemeinen Bemerkungen zur Orientierbarkeit
von Mannigfaltigkeiten die genannten Begriffe ein und geben explizite
Formeln. Wir zeigen dann, dass die erste und die zweite Fundamentalform zusammen
genommen eine Fläche bis auf Kongruenz bestimmen. Der Inhalt des Kapitels
läßt sich ohne Mühe von Flächen im R 3 auf Hyperflächen im R n , also Untermannigfaltigkeiten
der Kodimension Eins, übertragen.
11.1. Orientierungen. Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zwei
Basen (e 1 , . . . , e n ) und (e ′ 1, . . . , e ′ n) von V heißen gleich orientiert, wenn die den
Basiswechsel
∑
vermittelnde Matrix positive Determinante hat, wenn also gilt e ′ i =
aki e k mit det(a ki ) > 0. Diese Beziehung definiert eine Äquivalenzrelation auf
der Menge der Basen. Jede der beiden Äquivalenzklassen heißt eine Orientierung
des Vektorraumes V ,
O = [(e 1 , . . . , e n )] .
Basen mit [(e 1 , . . . , e n )] ∈ O nennt man positiv orientiert bezüglich der Orientierung
O. Eine Orientierung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine Menge
{O p | p ∈ M} von Orientierungen O p der Tangentialräume T p M mit folgender
Stetigkeitseigenschaft: Zu jedem Punkt p ∈ M existieren eine Umgebung U von p
und ein stetiges Basisfeld (X 1 , . . . , X n ) auf U mit
[(X 1 (p), . . . , X n (p))] = O p .
Die Mannigfaltigkeit M heißt orientierbar, wenn eine Orientierung von M existiert.
Eine orientierte Mannigfaltigkeit schließlich ist ein Paar, bestehend aus einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M und einer Orientierung von M.
Lemma. Sei M zusammenhängend und orientierbar. Dann existieren genau zwei
Orientierungen auf M.
Version: 18. Februar 2000
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