DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(c) Allgemeiner ist das Tensorbündel Tr s M einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
ein Faserbündel mit Faser F = Tr s (R n ). Bündelkarten sind die Abbildungen
( ∑
j
ψ 1···j s α Ai1···i r
dx i1 | p ⊗ · · · ⊗
∂ ∣ ∣∣∣p )
:=
∂x js
(
p, ∑ )
j
A 1...j r i1...i s
e ∗i1 ⊗ · · · ⊗ e ∗ir ⊗ e j1 ⊗ · · · ⊗ e js ,
wobei e 1 , . . . , e n die Standardbasis von R n bezeichnet. Schnitte des Tensorbündels
sind (r, s)–Tensorfelder.
(d) Das Einheitstangentialbündel SM ⊆ T M einer n–dimensionalen Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g) ist definiert als die Menge aller Tangentialvektoren X ∈
T M der Norm ||X|| = 1. Bezeichnet π die Einschränkung der Projektion von
T M auf SM, dann ist (SM, M, π) ein Faserbündel mit Faser F = S n−1 , der
(n−1)–dimensionalen Standardsphäre S n−1 = {x ∈ R n | ||x|| = 1}. Schnitte dieses
Bündels sind Vektorfelder der konstanten Länge 1.
Vektorraumbündel. Vektorraumbündel sind Faserbündel, bei denen die Fasern
E p Vektorraumstrukturen tragen, die, grob gesprochen, differenzierbar vom Punkt
p abhängen. Die genaue Definition ist wie folgt. Ein Vektorbündelatlas ist ein
Faserbündelatlas, bei dem die Faser F ein reeller Vektorraum ist und mit der Eigenschaft,
dass die Bündelkartenwechsel faserweise linear sind, das heißt: Zu je zwei
Indizes α, β ∈ Λ existiert eine differenzierbare Abbildung γ αβ : U α ∩ U β → GL(F )
dergestalt, dass für alle (p, v) ∈ (U α ∩ U β ) × F gilt
ψ α ◦ ψ −1
β (p, v) = (p, γ αβ(p)v) . (6.8.1)
Dabei bezeichnet GL(F ) die Menge der Vektorraumautomorphismen von F . Ein
Vektorraumbündel oder kurz Vektorbündel ist ein Faserbündel (E, M, π) zusammen
mit einem maximalen Vektorbündelatlas. Beispiele für Vektorraumbündel sind die
Tensorbündel Tr sM.
Die in Beispiel (c) angegebenen Bündelkarten bilden einen
Vektorbündelatlas, den man durch Hinzunahme aller verträglichen Bündelkarten
zu einem maximalen vervollständigen kann.
Jede Faser E p = π −1 (p) eines Vektorraumbündels wird auf folgende Weise zu einem
reellen Vektorraum. Für p ∈ U α ist die Abbildung ψ α | Ep : E p → {p} × F eine Bijektion,
und man überträgt die Vektorraumstruktur von F auf E p : Für e 1 , e 2 ∈ E p
und λ, µ ∈ R setzt man also
λe 1 + µe 2 := ψ −1
α (p, λf 1 + µf 2 ),
wenn ψ α (e j ) = (p, f j ) ist. Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von ψ α , weil
die Kartenwechsel faserweise linear sind. Man sieht leicht, dass die so definierten
Operationen “Addition” und “Multiplikation mit Skalaren” differenzierbare Abbildungen
E × E → E bzw. R × E → E sind.
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