DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

18. Erste Variation der Bogenlänge
Die Geodätischen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M, also die Geodätsichen
des Levi–Civita–Zusammenhanges der Metrik, sind nicht nur Kurven verschwindender
kovarianter Beschleunigung, also in diesem Sinne “geradeste Linien”. Sie lassen
sich auch dadurch charakterisieren, dass sie unter gewissen Einschränkungen die
kürzesten Kurven sind, die ihre Endpunkte verbinden. Dass dabei Einschränkungen
erforderlich sind, zeigt schon das Beispiel der Großkreise auf der Standardsphäre im
R 3 : Abschnitte eines Großkreises, die länger als ein Halbäquator sind, liefern offenbar
nicht die kürzeste Verbindung ihrer Endpunkte. In die genaue Formulierung
(Satz 2 in 18.4) geht der Injektivitätsradius inj(p) ein, den wir bereits in Abschnitt
17.7 eingeführt haben. Dabei wird—über das sogenannte Gauß–Lemma—die erste
Variationsformel verwendet, die, grob gesprochen, beschreibt, wie sich die Länge
einer Kurve bei kleinen Deformationen in erster Ordnung ändert.
In diesem Kapitel ist (M, g) eine n–dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.
Wir betrachten Geodätische und die Exponentialabbildung exp ihres Levi–Civita–
Zusammenhanges ∇. Mit d bezeichnen wir die durch die Riemannsche Metrik induzierte
Abstandsfunktion (10.4.2). Eine differenzierbare Kurve c : [a, b] → M heißt
proportional zur Bogenlänge parametrisiert, wenn ‖ċ‖ konstant ist. Da der Zusammenhang
∇ mit der Riemannschen Metrik g verträglich ist, ist das insbesondere für
die Geodätischen c(t) = exp(tX) der Fall, und für deren Länge gilt
L(c) =
∫ b
a
‖ċ(t)‖ dt =
∫ b
a
∥ P
c
t,0 ċ(0) ∥ dt = ‖X‖ (b − a).
18.1. Erste Variationsformel. Sei c : [a, b] → M eine differenzierbare Kurve.
Eine Variation von c ist eine differenzierbare Abbildung
H : (−ε, ε) × [a, b] → M
mit H(0, t) = c(t) für alle t ∈ [a, b]. Wie in Abschnitt 16.3 bezeichnen wir mit
∂H/∂s(s, t) ∈ T H(s,t) M den Tangentialvektor der Kurve s ↦→ H(s, t), und definieren
∂H/∂t entsprechend. Dann sind ∂H/∂s und ∂H/∂t Vektorfelder längs der Abbildung
H. Das Vektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) längs c nennt man das Variationsvektorfeld
von H.
Lemma. Es gilt
∇ ∂H
∂s ∂t = ∇ ∂H
∂t ∂s . (18.1.1)
Version 30. Mai 2000
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