DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beweis. Sei Y (s) eine Kurve in T p M mit Y (0) = X, Ẏ (0) = v und mit konstanter
Norm ‖Y (s)‖ = ‖X‖. Sei weiter H : (−ε, ε) × [0, 1] → M die Variation
H(s, t) = exp p t Y (s). Dabei ist zu beachten, dass für hinreichend kleines ε > 0
alle Vektoren t Y (s) im Definitionsbereich der Exponentialabbildung liegen. Alle
Kurven c s = H(s, ·) sind Geodätische derselben Länge L(c s ) = ‖Y (s)‖ = ‖X‖. Für
das Variationsvektorfeld V (t) = ∂H/∂s(0, t) längs c 0 gilt V (0) = 0 und
V (1) = d ds∣ exp(Y (s)) = (T exp)Ẏ (0) = (T exp)v.
0
Außerdem ist
ċ 0 (1) = d dt∣ exp(tX)
1
= d dt∣ exp((1 + t)X)
0
( d )
= (T exp)
dt∣
∣ (X + tX)
0
= (T exp)w.
Die erste Variationsformel ergibt nun
0 = d ds∣ L(c s )
0
= 1 (
g(V (1), ċ0 (1)) − g(V (0), ċ 0 (0)) )
‖X‖
= 1
‖X‖ g( (T exp)v, (T exp)w ) ,
wie behauptet. QED
18.4. Minimaleigenschaft von Geodätischen. Sei ˜Tp M := T p M ∩ ˜T M der
Definitionsbereich der Exponentialabbildung exp p = exp | TpM im Punkt p.
Satz 1. Sei ˜c : [a, b] → ˜T p M eine stückweise differenzierbare Kurve mit Anfangspunkt
˜c(a) = 0 und Endpunkt X = ˜c(b). Sei c die Kurve c = exp ◦ ˜c in M,
und sei γ : [0, 1] → M die Geodätische γ(t) = exp(tX). Dann gilt
L(γ) = ‖X‖ ≤ L(c).
Falls L(γ) = L(c) gilt und die Ableitung (T exp p )˜c(s) für alle s ∈ [a, b] invertierbar
ist, dann existiert eine stückweise differenzierbare Funktion u : [a, b] → [0, 1] mit
Ableitung u ′ ≥ 0 dergestalt, dass gilt
˜c(s) = u(s)X.
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