DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Definitionsbereich, insbesondere also beschränkt auf kompakten Teilen. Man erhält
die gewünschten Schranken auf U, und damit auch auf jedem Kompaktum.
Aufgaben
1. Starke Konvexität. Für welche Radien ϱ sind Abstandsbälle B(p, ϱ) auf einem
Kreiszylinder oder einem Kreiskegel mit Öffnungswinkel α im R3 stark konvex?
2. Vollständige Metriken. Zeigen Sie, dass auf jeder differenzierbaren Mannigfaltigkeit
vollständige Riemannsche Metriken existieren. Hinweis: Einbettungssatz
von Whitney.
3. Konvexe Bälle. Führen Sie die Einzelheiten des skizzierten Beweises von Satz
2 aus.
4. Beschränkte Vektorfelder. Ein Vektorfeld X auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit
(M, g) heißt beschränkt, wenn die Funktion ‖X‖ = g(X, X) 1/2 auf M
beschränkt ist. Zeigen Sie, dass eine Riemannschen Mannigfaltigkeit M genau dann
vollständig ist, wenn jedes beschränkte Vektorfeld auf M vollständig ist.
5. Divergente Kurven. Eine Kurve c : [0, ∞) → M heisse divergent, wenn sie
eine eigentliche Abbildung ist (Kapitel 4, Aufgabe 4), wenn also das Urbild c −1 (A)
jeder kompakten Teilmenge A ⊆ M kompakt ist. Zeigen Sie: Eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit M ist genau dann vollständig, wenn jede divergente differenzierbare
Kurve in M unendliche Länge hat.
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