DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

1.2. Definition. Sei M eine topologische Mannigfaltigkeit. Ein Atlas für M ist
eine Menge A = {(ϕ α , U α ) | α ∈ Λ} von Karten ϕ α : U α → R n , so dass M =
⋃
α∈Λ U α.
1.3. Definition. Sei M topologische Mannigfaltigkeit. Ein Atlas A = {(ϕ α , U α ) |
α ∈ Λ} für M heißt differenzierbar von der Klasse C k (oder ein C k –Atlas), wenn
für alle α, β ∈ Λ mit U α ∩ U β ≠ ∅ der Kartenwechsel
ϕ β ◦ ϕ −1
α : ϕ α(U α ∩ U β ) → ϕ β (U α ∩ U β )
eine C k –Abbildung ist, d.h. k–mal stetig differenzierbar (k = 0, 1, 2, . . . oder k =
∞).
Man kann sich anschaulich vorstellen, dass M durch “Verkleben” offener Teilmengen
von R n entsteht, wobei die “Klebeabbildungen” ϕ β ◦ ϕ −1
α von der Klasse C k sind.
Bemerkungen. (a) Die Teilmenge ϕ α (U α ∩ U β ) ist offen in R n , so dass man ohne
weiteres von C k –Abbildungen auf ϕ α (U α ∩ U β ) sprechen kann.
Beweis. Da U β offen in M ist, ist U α ∩ U β offen in U α bezüglich der Unterraumtopologie.
Da ϕ α : U α → ϕ α (U α ) ein Homöomorphismus ist, ist ϕ α (U α ∩ U β ) offen
in ϕ α (U α ). Und weil ϕ α (U α ) offen in R n ist, ist ϕ α (U α ∩ U β ) offen in R n . QED
(b) Ein C 0 –Atlas ist dasselbe wie ein Atlas im Sinne von (1.2).
(c) Jeder nur aus einer Karte bestehende Atlas ist ein C ∞ –Atlas, weil ϕ ◦ ϕ −1 =
id ∈ C ∞ ist.
1.4. Definition. Sei M eine topologische Mannigfaltigkeit und A = {(ϕ α , U α ) | α ∈
Λ} ein C k –Atlas. Eine Karte (ϕ, U) von M heißt mit A verträglich, wenn A ∪
{(ϕ, U)} ebenfalls ein C k –Atlas ist. Ein C k –Atlas A heißt ein maximaler C k –Atlas
(oder eine differenzierbare Struktur der Klasse C k , kurz C k –Struktur), wenn A
alle mit A verträglichen Karten enthält. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der
Klasse C k (kurz: C k –Mannigfaltigkeit) ist ein Paar (M, A), bestehend aus einer
topologischen Mannigfaltigkeit M und einer C k –Struktur A auf M.
Es ist üblich, in etwas ungenauer Sprechweise von der “C k –Mannigfaltigkeit M” zu
sprechen, wenn aus dem Zusammenhang zweifelsfrei klar ist, welche C k –Struktur
A auf M gemeint ist.
1.4.1. Lemma. Sei A ein C k –Atlas auf einer topologischen Mannigfaltigkeit M.
Dann existiert genau ein maximaler C k –Atlas A ′ mit A ⊆ A ′ . Jeder C k –Atlas
bestimmt also eine eindeutige C k –Struktur.
Beweis. Der Atlas A ′ := {(ϕ, U) | (ϕ, U) ist eine mit A verträgliche Karte} ist, wie
man mit Hilfe der Kettenregel überprüft, ein C k –Atlas und maximal. QED
1.5. Man kann zeigen, dass jeder maximale C 1 –Atlas einen C ∞ –Atlas enthält
(siehe M. W. Hirsch, Differential Topology, Springer–Verlag). Andererseits gibt es
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