DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

in (0, 0) die partiellen Ableitungen ∂P/∂s, ∂ 2 P/∂s 2 , ∂P/∂t und ∂ 2 P/∂t 2 . Wir untersuchen
nun die gemischte Ableitung ∂ 2 P/∂s ∂t.
Satz. Es gilt
∂ 2 P
(0, 0) = −R(X, Y ) (16.4.1)
∂s ∂t
P s,t = I − st R(X, Y ) + O(3). (16.4.2)
Insbesondere gilt
R(X, Y ) = − lim
t→0
P t,t − I
t 2 . (16.4.3)
Dabei bezeichnet das “Landausche Symbol” O(3) eine Funktion mit Werten im Vektorraum
T p M und mit der Eigenschaft, dass der Quotient O(3)/(s 2 + t 2 ) 3/2 in einer
Umgebung von (s, t) = (0, 0) beschränkt ist. Man beachte, dass diese Bedingung
unabhängig von der Wahl einer Norm auf T p M ist.
Beweis. Nach dem Taylorschen Satz, angewandt auf die vektorraumwertige Funktion
(s, t) ↦→ P s,t , sind die Beziehungen (16.4.1) und (16.4.2) gleichbedeutend. Um
nun (16.4.2) zu beweisen, setzen wir X und Y zu Vektorfeldern längs H fort durch
die Definitionen
X(σ, τ) = ∂H
∂σ
∂H
(σ, τ) und Y (σ, τ) = (σ, τ).
∂τ
Sei Z ein weiteres differenzierbares Vektorfeld längs H. Für i = 1, 2, 3, 4 bezeichne
P i die Parallelverschiebung längs der Kurve c i von ihrem Anfangspunkt zu ihrem
Endpunkt. Wir setzen abkürzend ∇ s = ∇/∂s. Die Auswertung eines Vektorfeldes
längs H in den vier Ecken des Rechtecks [0, s] × [0, t], also an den Stellen (0, 0),
(s, 0), (s, t) und (0, t), bezeichnen wir in dieser Reihenfolge durch Anschreiben eines
Index 0, 1, 2 und 3. Es ist also zum Beispiel
Z 2 = Z(s, t) und ∇ s Z 3 = (∇ s Z)(0, t).
Wir machen wiederholt Gebrauch von der Taylorformel (15.3.1) in der Form
P c 0,tZ(t) − Z(0) = t ∇ t Z(0) + t2 2 ∇ t∇ t Z(0) + O(3)
mit verschiedenen Kurven c. Mit diesen Festlegungen ist
P s,t Z 0 − Z 0 = P 4 P 3 P 2 P 1 Z 0 − Z 0
= P 4 P 3 P 2 (P 1 Z 0 − Z 1 ) + P 4 P 3 (P 2 Z 1 − Z 2 )
+ P 4 (P 3 Z 2 − Z 3 ) + P 4 Z 3 − Z 0
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