DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Satz. Sei U ⊆ M offen. Wir setzen voraus, dass die Gaußabbildung U diffeomorph
auf n(U) ⊆ S 2 abbildet. Dann gilt für den Flächeninhalt vol (n(U)) des Bildes n(U)
∫
|K| dV M = vol ( n(U) ) . (12.5.1)
U
Für die Bälle B(p, ε) ⊆ M um Punkte p ∈ M mit K(p) ≠ 0 gilt
|K(p)| = lim
ε→0
vol ( n(B(p, ε)) )
vol ( B(p, ε) ) . (12.5.2)
Beweis. Wir setzen zunächst zusätzlich voraus, dass eine Parametrisierung ψ :
W → ψ(W ) = U existiert. Dann ist n ◦ ψ : W → n(U) ⊆ S 2 eine Parametrisierung
von n(U), und nach Abschnitt 10.6 gilt für jede (nichtnegative messbare) Funktion
ϱ auf n(U)
∫
n(U)
∫
ϱ dV S 2 =
∫
=
∫
=
W
W
U
∂(n ◦ ψ) ∂(n ◦ ψ)
∥ ∥∥
ϱ◦n◦ψ ∥
∂w 1 × dw 1
∂w 2 dw 2
ϱ◦n◦ψ |det(L) ◦ ψ| ∥ ∂ψ
∂w 1 × ∂ψ ∥ ∥∥ dw 1
∂w 2 dw 2
ϱ◦n |K| dV M .
Dabei haben wir von der Weingartenschen Ableitungsgleichung (11.6.2) Gebrauch
gemacht. Speziell für ϱ = 1 ergibt sich die Behauptung des Satzes.
Nun sei allgemeiner U ⊆ M so beschaffen, dass es endlich viele offene parametrisierbare
Teilmengen U 1 , . . . , U m ⊆ M gibt mit ⋃ m
µ=1 U µ = U. Das ist etwa dann der
Fall, wenn der Abschluss von U kompakt ist. Sei {ϱ µ | µ = 1, . . . , m} eine Partition
der Eins auf n(U), die der Überdeckung durch die Mengen n(U µ) untergeordnet ist.
Dann gilt
∫
( ∑
m )
vol(n(U)) =
ϱ µ dVS 2
n(U)
∫
µ=1
= ∑ ϱ µ dV S 2
µ
n(U)
= ∑ ∫
ϱ µ dV S 2
µ
n(U µ)
= ∑ ∫
ϱ µ ◦n |K| dV M
µ
U µ
= ∑ ∫
ϱ µ ◦n |K| dV M
µ
U
∫
= |K| dV M .
U
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