DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Die Notation dc/dt macht Sinn, indem man c : (−ε, ε) → M ⊆ R k als R k -wertige
Abbildung auffasst. Genau genommen wäre stattdessen zu schreiben d(i ◦ c)/dt,
wobei i : M → R k die Inklusionsabbildung i(p) = p bezeichnet. Den Beweis der
Proposition überlassen wir als einfache Übung.
Wir kommen nun zu einer zweiten allgemein anwendbaren Art, Tangentialvektoren
an eine Mannigfaltigkeit zu definieren, nämlich als reellwertige Derivationen des
Ringes C ∞ (M). Derivationen sind weniger anschaulich als Äquivalenzklassen von
Kurven, aber oft einfacher zu handhaben. Wir erklären zunächst, was Derivationen
in einem Punkt p ∈ M sind, und dann, warum der Raum T p M dieser Derivationen
kanonisch isomorph ist zum geometrischen Tangentialraum Tp geo M.
3.5. Definition. Sei M eine C ∞ –Mannigfaltigkeit, p ∈ M. Eine Derivation an p
ist eine R–lineare Abbildung X : C ∞ (M) → R mit folgender Eigenschaft: Für alle
f, g ∈ C ∞ (M) gilt die Produktregel
X(f · g) = g(p) Xf + f(p) Xg.
Die Menge T p M aller Derivationen an p ist offensichtlich ein reeller Vektorraum,
ein Unterraum des Dualraumes von C ∞ (M).
Beispiel. Sei (ϕ, U) eine Karte an p. Wir definieren
∣
∂ ∣∣∣p
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i (ϕ(p))
∂
∂x i ∣
∣p ∈ T p M durch
für f ∈ C ∞ (M) und i = 1, . . . , n. Wir werden sehen, dass diese Derivationen eine
Vektorraumbasis von T p M bilden.
3.6. Satz. Die Abbildung Φ p : Tp
geo M → T p M, definiert durch
Φ p ([c])f = d dt∣ f(c(t))
0
für [c] ∈ Tp
geo M und f ∈ C ∞ (M), ist wohldefiniert und ein Vektorraumisomorphismus.
Insbesondere ist also T p M n–dimensional. Der Beweis von 3.6 folgt in 3.8. In der
Praxis identifiziert man oft T p M mit Tp
geo (M) aufgrund dieses Satzes und bezeichnet
beide Räume als den Tangentialraum von M in p. Wir werden dies später ebenfalls
tun. Aus dem Zusammenhang sollte dann jeweils klar sein, ob eine Äquivalenzklasse
von Kurven oder eine Derivation gemeint ist, wenn von einem Tangentialvektor die
Rede ist.
3.7. Eigenschaften von Derivationen. Sei M eine n–dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit und p ∈ M. Wir zeigen zunächst (in Lemma 3), dass für
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