DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Beispiel. Die Abbildung π : R → S 1 , π(t) = e it ist eine universelle Überlagerung
von S 1 . Schränkt man aber π ein auf ein beschränktes offenes Intervall, so erhält
man einen lokalen Diffeomorphismus, der keine Überlagerung ist.
22.2. Gruppenoperationen. Eine große Zahl weiterer Beispiele von Überlagerungen
erhält man durch Quotientenbildung nach freien und eigentlich diskontinuierlichen
Gruppenoperationen (Kapitel 11, Aufgabe 5). Wir erinnern zunächst
an diesen Begriff.
Eine differenzierbare (Links–)Operation einer Gruppe Γ auf einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit M ist eine Abbildung µ : Γ × M → M mit der Eigenschaft, dass
die Abbildung γ ↦→ µ(γ, ·) ein Gruppenhomomorphismus von Γ in die Diffeomorphismengruppe
von M ist. Wir schreiben kurz γp anstelle von µ(γ, p), wenn über
die Gruppenoperation µ kein Zweifel besteht. Jede Gruppenoperation definiert eine
Äquivalenzrelation auf M. Deren Äquivalenzklassen sind die Bahnen
Γp = {γp | γ ∈ Γ}
der Punkte p ∈ M. Den Quotientenraum dieser Operation, also die Menge aller
Bahnen, bezeichnen wir mit Γ\M. Dieser Quotient, versehen mit der Quotiententopologie,
trägt im allgemeinen nicht die Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
Eine Gruppenoperation heißt frei und eigentlich diskontinuierlich, wenn gilt:
(a) Jeder Punkt p ∈ M besitzt eine Umgebung U mit U ∩ γU = ∅ für
alle γ ∈ Γ\{e}.
(b) Ist q ∈ M nicht in der Bahn Γp enthalten, dann existieren Umgebungen
U von p und V von q mit U ∩ γV = ∅ für alle γ ∈ Γ.
Operiert die Gruppe Γ frei und eigentlich diskontinuierlich auf der Mannigfaltigkeit
M, dann trägt nach Aufgabe 5 von Kapitel 11 der Quotientenraum Γ\M die
Struktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Man sieht leicht ein, dass die
kanonische Projektion M → Γ\M eine Überlagerung ist.
22.3. Decktransformationen. Sei π : ˜M → M eine universelle Überlagerung.
Eine Decktransformation ist ein Diffeomorphismus φ : ˜M → ˜M mit π ◦ φ = π.
Die Gruppe Deck aller Decktransformationen der Überlagerung bezeichnet man als
deren Decktransformationsgruppe, oder kurz Deckgruppe. Satz 22.1(c), angewandt
auf M 1 = M 2 = ˜M, ergibt: Zu je zwei Punkten ˜p, ˜q ∈ ˜M mit π(˜p) = π(˜q) existiert
genau eine Decktransformation φ mit φ(˜p) = ˜q. Daher stimmt die Anzahl der Decktransformationen
einer universellen Überlagerung mit ihrer B̷lätterzahl überein, es
ist also
Blätterzahl = |π −1 (p)| = |Deck|.
Satz. Sei π : ˜M → M eine universelle Überlagerung, Γ = Deck die Gruppe der
Decktransformationen. Dann operiert Γ frei und eigentlich diskontinuierlich auf ˜M,
und die Quotientenmannigfaltigkeit Γ\ ˜M ist diffeomorph zu M.
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