DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

19. Vollständigkeit, konvexe Umgebungen
Typische Fragen der Riemannschen Geometrie im Großen oder der globalen Riemannschen
Geometrie sind solche nach Zusammenhängen zwischen der Riemannschen
Struktur und der topologischen Gestalt der unterliegenden Mannigfaltigkeit.
Beispiele für entsprechende Sätze haben wir in Kapitel 13 über Eiflächen bereits kennengelernt:
Dort konnte etwa aus der Positivität der Gaußkrümmung geschlossen
werden, dass eine Fläche diffeomorph zur 2–Sphäre ist. Ähnliche Resultate gibt es
im allgemeineren Rahmen der Riemannschen Geometrie.
Nun zeigt bereits die Betrachtung offener Teilmengen des R n , dass auch die “einfachsten”
Riemannschen Mannigfaltigkeiten, nämlich die flachen, von sehr komplizierter
topologischer Struktur sein können. Um zu sinnvollen Fragestellungen zu
gelangen, erlegt man daher den betrachteten Räumen zusätzliche Bedingungen auf,
so wie wir schon bei den Eiflächen deren Kompaktheit vorausgesetzt haben. Die
wichtigste dieser Bedingungen ist die der Vollständigkeit einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
In diesem Kapitel führen wir den Begriff der Vollständigkeit ein und
beweisen den grundlegenden Satz von Hopf und Rinow, der verschiedene Charakterisierungen
der Vollständigkeit zum Gegenstand hat. Anschließend vertiefen wir
unser Studium der Normalkoordinaten im Riemannschen Fall und beweisen die
Existenz konvexer Umgebungen.
In diesem Kapitel bezeichnen weiterhin (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit,
d ihre Abstandfunktion, ∇ ihren Levi–Civita–Zusammenhang, und exp : ˜T M → M
die Exponentialabbildung von ∇ mit ihrem maximalen Definitionsbereich ˜T M.
19.1. Surjektivität der Exponentialabbildung. Für p ∈ M und ϱ > 0 betrachten
wir die Bälle
B p (0, ϱ) = {X ∈ T p M | ‖X‖ < ϱ}
in T p M und
B(p, ϱ) = {q ∈ M | d(p, q) < ϱ}
in M. Da die Geodätische c : [0, 1] → M mit c(t) = exp p tX die Punkte p und
exp p X verbindet und die Länge L(c) = ‖X‖ hat, gilt
und daher ist
d(exp p X, p) ≤ ‖X‖ ,
exp p (B p (0, ϱ) ∩ ˜T M) ⊆ B(p, ϱ).
Diese Inklusion ist im allgemeinen echt, wie man sich am Beispiel offener Teilmengen
M ⊆ R n klarmacht. Der folgende Satz besagt aber, dass zwischen diesen Mengen
Gleichheit besteht, sobald B p (0, ϱ) ⊆ ˜T M ist.
Version 5. Juni 2000
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