DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Dabei bezeichnet d/dt| t0 ∈ T t0 I den zum Koordinatensystem (id, R) von R gehörenden
Basisvektor (der konsequenterweise eigentlich mit ∂/∂x 1 | t0 bezeichnet werden
müsste), also die Derivation “Ableitung an der Stelle t 0 ”. Nach Definition von
T t0 c gilt für f ∈ C ∞ (M)
ċ(t 0 )f = d dt∣ (f ◦ c),
t0
und insbesondere ċ(0) = Φ p ([c]) mit dem Isomorphismus Φ p : Tp
geo M → T p M aus
3.6. Allgemeiner ist
Φ p ([γ]) = ċ(t 0 ),
wobei γ die Kurve γ(t) = c(t + t 0 ) bezeichnet. Zum Beweis bemerkt man, dass
Φ p ([γ])f = d dt∣ f(γ(t)) = d 0
dt∣ f(c(t)) = ċ(t 0 )f .
t0
In lokalen Koordinaten lässt sich ċ(t 0 ) wie folgt beschreiben. Sei (ϕ, U) eine Karte
an p = c(t 0 ). Dann gilt nach Gleichung (3.9.1)
ċ(t 0 ) =
=
n∑
ċ(t 0 )ϕ i ·
i=1
n∑
i=1
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
d(ϕ i ◦ c)
(t 0 )
dt
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
.
(4.4.1)
Speziell für M = R n und die Karte ϕ = id erhält man
ċ(t 0 ) =
n∑
i=1
dc i
dt (t 0)
∂
∂x i ∣ ∣∣∣p
,
wenn c i die i–te Komponente von c ist. Insofern ist unsere allgemeine Definition
von ċ(t 0 ) konsistent mit den üblichen Bezeichnungen der Differentialrechnung im
R n .
Wir kommen nun zum zweiten Gegenstand des Kapitels, dem Tangentialbündel
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
4.5. Tangentialbündel. Die Menge T M = ⋃ p∈M T pM aller Tangentialvektoren
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M heißt das Tangentialbündel von
M. Die Abbildung π : T M → M, die jedem Tangentialvektor X ∈ T p M seinen
Fußpunkt p zuordnet, heißt die (kanonische) Projektion. Für U ⊆ M schreibt man
oft T M| U := π −1 (U) und nennt T M| U die Einschränkung von T M auf U. Die
einzelnen Tangentialräume T p M = π −1 (p) bezeichnet man auch als die Fasern des
Tangentialbündels.
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