DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

(a) Wenn es ein ɛ > 0 gibt mit (−ɛ, ɛ) × M ⊆ U, dann ist X vollständig.
(b) Hat X kompakten Träger, dann ist X vollständig.
5. Lieklammer. Seien X und Y differenzierbare Vektorfelder auf M, und sei
ϕ : M → N ein Diffeomorphismus. Zeigen Sie:
ϕ ∗ [X, Y ] = [ϕ ∗ X, ϕ ∗ Y ]
6. Vollständigkeit. Zeigen Sie: Zu jedem X ∈ V(M) existiert ein vollständiges
Vektorfeld Y ∈ V(M), dessen Bahnen mit denen von X übereinstimmen. Hinweis:
Y = fX mit einer geeigneten Funktion f.
7. Taylorreihe. Sei X ein vollständiges Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit M,
φ sein Fluss, und sei f ∈ C ∞ (M). Zeigen Sie für die k–te Ableitung
d k
dt k ∣ ∣∣∣t0
f(φ t (p)) = (X k f)(φ t0 (p)) .
wobei X k f = XX . . . Xf ist, also (X k f)(q) = X q (X k−1 f) für q ∈ M. Leiten Sie
daraus folgende formale Taylorentwicklung ab:
f ◦ φ t ∼ e tX f
8. Taylorformel. (a) Zeigen Sie, dass in den Bezeichnungen von Aufgabe 7 gilt
f(φ t (p)) =
k∑
j=0
(X j f)(p)
j!
t j + tk+1
k!
∫ 1
0
(1 − s) k (X k+1 f)(φ st (p)) ds .
Hinweis: Verwenden Sie die Taylorsche Formel für reellwertige Funktionen einer
reellen Veränderlichen mit Restglied in Integralform.
(b) Folgern Sie: Ist X k f = 0 für ein k, und ist M kompakt, dann ist Xf = 0.
9. Rechnung. Das Tensorfeld A sei bezüglich einer Karte (ϕ, U) von M gegeben
als
A| U = ∑ j
A 1···j s i1···i r
dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ⊗ ∂
∂x ⊗ · · · ⊗ ∂
j1 ∂x . js
Berechnen Sie L X A.
10. Lieableitung. Zeigen Sie, dass für die Lieableitung von Tensorfeldern gilt
L X ◦ L Y − L Y ◦ L X = L [X,Y ] .
Hinweis: L X
festgelegt.
ist durch die Eigenschaften (1) bis (5) aus Abschnitt 7.9 eindeutig
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