DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Speziell für i = s = 1 und j = k = 2 folgt die Behauptung. QED
Korollar. (“Theorema egregium” von Gauß (1827)). Ist f : M → N eine Isometrie
zwischen Flächen im R 3 , dann gilt für deren Gaußkrümmungen K N ◦ f = K M . In
entsprechenden Punkten haben M und N also dieselbe Gaußkrümmung.
Beweis. Sei ψ : W → M eine lokale Parametrisierung von M. Dann ist ˜ψ :=
f ◦ ψ : W → N eine lokale Parametrisierung von N, und für die entsprechenden
Komponenten der ersten Fundamentalformen und die Christoffelsymbole gilt wie
im Beweis von Satz 11.9
Die Behauptung folgt aus (12.7.5). QED
˜g ij ◦ ˜ψ = g ij ◦ ψ
˜Γ ij k ◦ ˜ψ = Γ ij k ◦ ψ.
12.8. Taylorentwicklung. Sei M ⊆ R 3 eine orientierte Fläche, ψ : W → M eine
lokale Parametrisierung von M, ψ(0) = p und w = (w 1 , w 2 ) ∈ W . Dann gilt die
Taylorentwicklung
ψ(w) = ψ(0) + ∂ψ
∂w i (0)wi + 1 ∂ 2 ψ
2 ∂w i ∂w k (0)wi w k + o(‖w‖ 2 ).
Das Skalarprodukt mit n(p) ergibt
also nach (11.5.2)
〈 〉 1
〈 ∂ 2 ψ
〉
ψ(w) − ψ(0), n(p) =
2 ∂w i ∂w k (0), n(p) w i w k + o(‖w‖ 2 ),
〈
ψ(w) − p, n(p)
〉
=
1
2 h ik(p) w i w k + o(‖w‖ 2 ). (12.8.1)
Der Betrag der linken Seite dieser Gleichung ist der Abstand von ψ(w) zur Tangentialebene
der Fläche im Punkt p. Die Matrix (h ik (p)) beschreibt also, wie ψ(w) in
einer Umgebung von p von der Tangentialebene abweicht.
Wir wählen nun eine spezielle lokale Parametrisierung an p wie folgt. Sei
E = {p + ξ 1 E 1 + ξ 2 E 2 | ξ 1 , ξ 2 ∈ R} ⊆ R 3
die Tangentialebene an M in p (mit beliebig gewählten Basisvektoren E 1 und E 2 ).
Die senkrechte Projektion proj : M → E bildet eine Umgebung U ⊆ M von p
diffeomorph auf eine Umgebung V ⊆ E von p in E ab. Dann ist ψ : W → U
ψ(w 1 , w 2 ) := (proj| U ) −1 (p + w 1 E 1 + w 2 E 2 )
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