DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Nun sei { ϱ α | α ∈ Λ } eine der Überdeckung { U α | α ∈ Λ } untergeordnete Partition
der Eins. Wir setzen
g = ∑ α∈Λ ϱ α g α .
Ausführlich bedeutet das: Für p ∈ M und X, Y ∈ T p M ist g(X, Y ) definiert als die
endliche Summe
g(X, Y ) = ∑ α∈Λ
ϱ α (p) g α (p)(X, Y ) .
Da die ϱ α nichtnegative Funktionen sind, und weil g α in jedem Punkt von U α positiv
definit ist, ist auch g(p) für jeden Punkt p ∈ M positiv definit. QED
8.7. Satz. (Einbettung in R k ) Sei M eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Dann existiert eine differenzierbare Einbettung f : M → R k für geeignetes
k. Insbesondere ist jede kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit diffeomorph zu
einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit eines R k .
Beweis. Sei { (ϕ β , V β ) | β = 1, . . . , m } ein endlicher Atlas mit ϕ β (V β ) = B(0, 3) =
{ x ∈ R n | ‖x‖ < 3 } und mit
m⋃
β=1
ϕ −1
β
(B(0, 1)) = M .
Zu diesem Atlas wählen wir Funktionen σ β wie im Beweis von Satz 8.4. Bezeichnet
n die Dimension von M, dann definieren wir f : M → R m+mn durch
f(p) = ( σ 1 (p), . . . , σ m (p), σ 1 (p) ϕ 1 (p), . . . , σ m (p) ϕ m (p) ) .
Dabei ist wieder σ β (p) ϕ β (p) = 0 zu setzen, wenn p nicht in V β enthalten ist.
Wir zeigen, dass die Abbildung f ist eine injektive Immersion ist. Da injektive
Immersionen kompakter Mannigfaltigkeiten stets Einbettungen sind (siehe Aufgabe
4(a) zum vierten Kapitel), folgt dann die Behauptung.
Die Funktionen σ β sind konstant Eins auf den Mengen ϕ −1
β
(B(0, 1)), und diese
Mengen überdecken M. Daher gibt es zu jedem Punkt p ∈ M einen Index α mit
σ α (p) = 1. Ist nun q ein weiterer Punkt mit f(p) = f(q), dann ist nach Definition
von f auch σ α (q) = 1 und damit ϕ α (q) = ϕ α (p). Da die Abbildung ϕ α injektiv
ist, folgt q = p. Also ist f injektiv. Um einzusehen, dass die Ableitung T p f an
der Stelle p injektiv ist, beachtet man, dass auf der Umgebung ϕ −1
α (B(0, 1)) von
p die Funktion σ α = 1 ist. Auf dieser Umgebung gilt also σ α ϕ α = ϕ α für die
entsprechende Komponente von f. Da die Ableitung T p ϕ α injektiv ist, ist auch T p f
injektiv. QED
Die Aussage von Satz 8.7 lässt sich auf nichtkompakte Mannigfaltigkeiten ausdehnen,
und auch hinsichtlich der Einbettungsdimension sind Verbesserungen möglich.
Eine solche stärkere Aussage macht der
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