DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

folgt
I(V, V ) = 1
‖ċ‖
∫ b
a
(
〈A, A〉 + 2〈A, B〉 + 〈B, B〉 − 〈R(V, ċ)ċ, V 〉
)
dt.
Nun ist, unter Verwendung von (b) und der Jacobigleichung,
∫ b
a
Wegen (c) ist
〈B, B〉 dt =
und daher mit (23.4.3)
=
=
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
V i V k 〈∇ t J i , ∇ t J k 〉 dt
V i V k( 〈∇ t J i , J k 〉 ′ + 〈R(J i , ċ)ċ, J k 〉 ) dt
(
(V i V k 〈∇ t J i , J k 〉) ′ − (V i ) ′ V k 〈∇ t J i , J k 〉
− V i (V k ) ′ 〈∇ t J i , J k 〉 + 〈R(V, ċ)ċ, V 〉 ) dt
= 〈B, V 〉 ∣ ∫ b
b + ( )
a − 2〈A, B〉 + 〈R(V, ċ)ċ, V 〉 dt.
a
〈B, V 〉 ∣ ∣ b a = 〈 V i (b)∇ t J i (b), V (b) 〉
= 〈 ∇ t J(b), J(b) 〉
I(V, V ) = 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b a + 1
‖ċ‖
≥ 1
‖ċ‖ 〈∇ tJ, J 〉 ∣ b a
= I(J, J),
∫ b
a
〈A, A〉 dt
wie behauptet. Gleichheit in dieser Ungleichung impliziert A = 0, also V i = const =
V i (b) und damit wegen (c) auch V = J. QED
23.5. Jacobikriterium. Mit Hilfe konjugierter Punkte lässt sich ein Kriterium
dafür angeben, dass eine Geodätische c : [a, b] → M unter den Nachbarkurven c s
jeder Variation mit festen Endpunkten die Bogenlänge minimiert. Wir betrachten
dazu stückweise glatte Variationen H : (−ε, ε) × [a, b] → M, H(s, t) =: c s (t) von
c mit festen Endpunkten, also mit c s (a) = c(a) und c s (b) = c(b) für alle s. Sei
V (t) = ∂H/∂s(0, t) das Variationsvektorfeld.
Satz. (a) Enthält c auf (a, b] keinen zu c(a) konjugierten Punkt, dann gilt für jede
stückweise glatte Variation mit festen Endpunkten und mit V ⊥ ≠ 0
d 2
ds 2 ∣ ∣∣∣0
L(c s ) > 0.
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