DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

7.4. Lieklammer in lokalen Koordinaten. Wir zeigen zunächst, dass die
Basisfelder jeder Karte untereinander kommutieren. Sei also (ϕ, U) eine Karte von
M, und seien ∂/∂x i die entsprechenden Basisvektorfelder auf U. Wir behaupten,
dass gilt
[ ∂
∂x i ,
Zum Beweis berechnen wir für f ∈ C ∞ (M)
[ ∂
∂x i ,
∂
]
∂x j f =
Nach Beispiel (a) in Abschnitt 7.1 ist
und daher
∂
]
∂x j = 0 . (7.4.1)
∂ ( ∂
)
∂x i ∂x j f −
∂
∂x i f = ∂(f ◦ ϕ−1 )
∂x i ◦ ϕ ,
∂ ( ∂
)
∂x j ∂x i f .
[ ∂
∂x i , ∂
]
∂x j f = ∂(( ∂(f◦ϕ −1 )
∂x
◦ ϕ ) ◦ ϕ −1)
j
∂x i ◦ ϕ − ∂(( ∂(f◦ϕ −1 )
∂x
◦ ϕ ) ◦ ϕ −1)
i
∂x j
= ∂2 (f ◦ ϕ −1 )
∂x i ∂x j ◦ ϕ − ∂2 (f ◦ ϕ −1 )
∂x j ∂x i ◦ ϕ
= 0
wegen der Vertauschbarkeit partieller Ableitungen. Damit ist Gleichung (7.4.1) bewiesen.
Für Vektorfelder X und Y mit X| U = ∑ X i ∂/∂x i und Y | U = ∑ Y i ∂/∂x i
ergibt sich daraus nach kurzer Rechnung mittels Lemma 2 in 7.3 die Beziehung
[X, Y ] ∣ ∣
U
=
=
n∑
i=1
(
X(Y i ) − Y (X i ) ) ∂
∂x i
n∑ (
i,j=1
X j
◦ ϕ
(7.4.2)
∂
∂x j Y i − Y j ∂
∂x j Xi) ∂
∂x i .
7.5. Der Fluss eines Vektorfeldes. Sei X ein differenzierbares Vektorfeld auf
M. Eine Integralkurve oder Flusslinie von X ist eine differenzierbare Abbildung
c : I → M eines offenen Intervalls I ⊆ R nach M mit der Eigenschaft
ċ = X ◦ c . (7.5.1)
Es wird also gefordert, dass der Tangentialvektor ċ(t) der Kurve c zu jedem “Zeitpunkt”
t mit dem Wert X(c(t)) des Vektorfeldes an der jeweiligen Stelle übereinstimmt.
In lokalen Koordinaten (ϕ, U) lautet diese Bedingung wegen (4.4.1)
dc i
dt (t) = Xi (c(t)) ,
i = 1, . . . , n
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