DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

6. Tensorfelder, Faserbündel
Ersetzt man in der Definition des Tangentialbündels T M einer differenzierbaren
Mannigfaltigkeit die Tangentialräume T p M durch die Tensorräume Tr s(T
pM), so
gelangt man zum Bündel der (r, s)–Tensoren auf M, das selbst wieder die Struktur
eine differenzierbaren Mannigfaltigkeit trägt. Die Analoga zu den Vektorfeldern
heißen Tensorfelder. Da lokale Koordinaten Basen für die Tangentialräume T p M
liefern, lassen sich Tensorfelder durch Komponentenfunktionen beschreiben, so wie
wir das im Spezialfall der Vektorfelder und auch der Eins–Formen bereits getan
haben. In der Praxis ist ein Tensorfeld oft als eine Abbildung gegeben, die (r + s)–
Tupeln, bestehend aus r Vektorfeldern und s Eins–Formen, reellwertige Funktionen
auf M zuordnet, und die multilinear über dem Ring C ∞ (M) der differenzierbaren
Funktionen ist. Eine entsprechende Charakterisierung liefert Satz 6.8.
Tensorbündel sind spezielle Beispiele von Vektorraumbündeln und, allgemeiner,
Faserbündeln. Auf diese Begriffe gehen wir zum Abschluss des Kapitels kurz ein.
Im Folgenden ist (M, A) eine n–dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Differenzierbarkeit
bedeutet Differenzierbarkeit von der Klasse C ∞ . Wir verwenden
die Summationskonvention aus Abschnitt 5.8.
6.1. Tensorbündel. Die Menge
Tr s M = ⋃
p∈M
T s
r (T pM)
heißt das Bündel der r–fach kovarianten und s–fach kontravarianten Tensoren, oder
kurz: Bündel der (r, s)–Tensoren auf M. Die Projektion π : Tr sM → M ordnet
jedem Tensor A ∈ Tr s (T p M) seinen Fußpunkt π(A) = p zu.
Spezialfälle sind uns bereits begegnet: Es ist T0 0 M = M × R, außerdem ist
T0 1 M = ⋃
(T p M) ∗∗ = ⋃
T p M = T M
p∈M
das Tangentialbündel und T1 0M = T ∗ M das Kotangentialbündel von M. Dem
Muster von T M und T ∗ M folgend, führen wir nun auf Tr s M die Struktur einer
differenzierbaren Mannigfaltigkeit ein, und definieren dann (r, s)–Tensorfelder als
Schnitte des Bündels π : Tr sM → M, das heißt als Abbildungen A : M → T r sM mit
π ◦ A = id M . Da die Einzelheiten denen bei T M analog sind, werden wir uns hier
kurz fassen.
6.2. Beschreibung in lokalen Koordinaten. Ist A ∈ T s
r (T p M), und ist (ϕ, U)
eine Karte an p, dann gibt es eindeutig bestimmte Zahlen A i1···i r
j 1···j s
, die Komponenten
von A bezüglich der Karte (ϕ, U) dergestalt, dass gilt
p∈M
A = A i1...i r
j 1...j s
dx i1 | p ⊗ · · · ⊗ dx ir | p ⊗ ∂
∂x j1 ∣ ∣∣∣p
⊗ · · · ⊗
Version: 18. Februar 2000
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∂
∂x js ∣ ∣∣∣p
(6.2.1)