DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

2. Untermannigfaltigkeiten
In diesem Abschnitt führen wir zunächst eine besonders wichtige Klasse differenzierbarer
Mannigfaltigkeiten ein, die der Untermannigfaltigkeiten von R n . Danach
werden Untermannigfaltigkeiten beliebiger Mannigfaltigkeiten behandelt.
2.1. Differentialrechnung im R n . Sei f : R n → R m differenzierbar. Die
Ableitung von f an der Stelle x ∈ R n ist eine lineare Abbildung Df(x) : R n → R m ,
definiert durch
1
Df(x)v = lim
t→0 t (f(x + tv) − f(x)) = d dt∣ f(x + tv).
0
Ist f selbst linear, dann ist offensichtlich Df(x) = f für alle x ∈ R n . Bezüglich der
Standardbasen in R n und R m entspricht Df(x) die Jacobimatrix (oder Funktionalmatrix)
Jf(x) =
( ∂f
i
∂x j (x) )
i=1,...,m
j=1,...,n
=
⎛
⎜
⎝
∂f 1
∂x 1 (x) · · ·
.
∂f m
∂x
(x) · · ·
1
∂f 1
∂x n (x)
.
∂f m
∂x
(x) n
Es gilt die Kettenregel: Sind f : R n → R m und g : R m → R l differenzierbar, dann
ist auch g ◦ f differenzierbar, und es ist
D(g ◦ f)(x) = Dg(f(x)) ◦ Df(x).
Die Jacobimatrix J(g ◦ f) erhält man daher als Matrixprodukt J(g ◦ f)(x) =
Jg(f(x)) · Jf(x).
Seien U, V ⊆ R n offen. Eine Abbildung f : U → V heißt ein C k –Diffeomorphismus
von U auf V , wenn f bijektiv ist und sowohl f als auch f −1 C k –Abbildungen sind.
Diese Definition stimmt offenbar mit der in 1.12 gegebenen überein, wenn man die
offenen Mengen V und W wie in 1.8 als Mannigfaltigkeiten betrachtet. Aus der
Infinitesimalrechnung bekannt ist der
Satz über inverse Funktionen. Seien U, V ⊆ R n offen, f : U → V eine C k –
Abbildung (k ≥ 1) und x 0 ∈ U. Ist Df(x 0 ) ein Vektorraumisomorphismus, dann
existieren offene Umgebungen U ′ ⊆ U von x 0 und V ′ ⊆ V von f(x 0 ) dergestalt,
dass die Einschränkung f| U ′ ein C k –Diffeomorphismus von U ′ auf V ′ ist.
2.2. Satz (Äquivalente Definitionen einer Untermannigfaltigkeit von Rn+l ). Für
Teilmengen M ⊆ R n+l und k ∈ {1, 2, 3, . . . , ∞} sind folgende Aussagen äquivalent:
Version: 18. Februar 2000
8
⎞
⎟
⎠