DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Satz 2. Sei (M, g) eine zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit,
und sei p ∈ M. Ist exp p : T p M → M ein lokaler Diffeomorphismus, dann
ist exp p eine Überlagerung. Ist zusätzlich M einfach zusammenhängend, dann ist
exp p ein Diffeomorphismus.
Beweis. Wir betrachten die Riemannsche Metrik ḡ = exp ∗ p g auf T p M. Die Riemannsche
Mannigfaltigkeit (T p M, ḡ) hat die Eigenschaft, dass die Geodätischen
durch 0 genau die Kurven c(t) = tX mit X ∈ T p M sind. Insbesondere ist die Exponentialabbildung
exp 0 : T 0 (T p M) → T p M auf ganz T 0 (T p M) definiert. Nach dem
Kriterium (a) des Satzes 19.2 von Hopf und Rinow ist (T p M, ḡ) eine vollständige
Riemannsche Mannigfaltigkeit. Satz 1 liefert nun die erste Aussage, und mit dem
Korollar aus 22.1 folgt die zweite. QED
Beispiel. Beim Rotationsparaboloid z = x 2 + y 2 im R 3 ist der Scheitelpunkt
p = (0, 0, 0) der einzige Punkt, der die Voraussetzung des Satzes erfüllt.
22.8. Fixpunktsatz von Weinstein. Sei (M n , g) eine kompakte, zusammenhängende
orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung K > 0. Sei
f : M → M eine Isometrie. Ist die Dimension n gerade und f orientierungserhaltend,
oder ist n ungerade und f orientierungsumkehrend, dann existiert ein Punkt
p ∈ M mit f(p) = p.
Die Voraussetzungen des Satzes lassen sich anhand der Antipodenabbildung x ↦→
−x der Einheitssphäre S n ⊆ R n+1 illustrieren. Diese Abbildung ist fixpunktfrei,
und sie ist genau dann orientierungserhaltend, wenn die Dimension n ungerade ist.
Für den Beweis des Fixpunktsatzes verwenden wir das folgende Lemma über die
Existenz invarianter Geodätischer.
Lemma. Sei f : M → M eine Isometrie einer zusammenhängenden Riemannschen
Mannigfaltigkeit (M, g). Die Verschiebungsfunktion p ↦→ d(p, f(p)) nehme ein
lokales Minimum im Punkt p ∈ M an. Sei c : R → M eine Geodätische mit
der Eigenschaft, dass für eine Zahl l ≥ 0 die Einschränkung c| [0,l] eine Kürzeste
von p nach f(p) ist, also c(0) = p, c(l) = f(p) und L(c| [0,l] ) = d(p, f(p)). Dann gilt
(T p f)ċ(0) = ċ(l), und es ist f(c(t)) = c(t + l) für alle t ∈ R.
Beweis. Ist f(p) = p, dann ist c konstant, und die Behauptungen gelten offensichtlich.
Sei nun f(p) ≠ p. Wir zeigen zunächst, dass für alle X ∈ T p M aus dem
orthogonalen Komplement ċ(0) ⊥ gilt
(T p f)X ∈ ċ(l) ⊥ . (∗)
Sei dazu V ein differenzierbares Vektorfeld längs c mit V (0) = X und V (l) =
(T p f)X, und sei H(s, t) = c s (t) = exp(sV (t)). Nach der ersten Variationsformel
(18.1.2) ist dann
d
ds∣ L(c s ) = 1 ∣ ∣∣
0
‖ċ‖ 〈V, ċ〉 l
230
0 = 1
‖ċ‖
〈V (l), ċ(l)〉.