DIFFERENTIALGEOMETRIE I–II - Homeweb2.unifr.ch

Wir erhalten folgenden Satz.
Satz (zweite Variationsformel). Sei H eine differenzierbare Variation der Geodätischen
c : [a, b] → M, und sei c s (t) = H(s, t). Dann gilt
∣
d 2 ∣∣∣0
ds 2 L(c s ) = 1
‖ċ‖ 〈∇ ∣
s∂ s H, ċ〉
+ 1
‖ċ‖
∫ b
a
∣ (0,b)
(0,a)
(
〈∇t V ⊥ , ∇ t V ⊥ 〉 − 〈R(V ⊥ , ċ)ċ, V ⊥ 〉 ) dt.
Bemerkungen. (i) Die in dieser Formel auftretenden Randterme verschwinden,
wenn die Kurven s ↦→ H(s, a) und s ↦→ H(s, b) Geodätische sind. Das ist insbesondere
bei Variationen mit festen Endpunkten der Fall, also solchen Variationen, bei
denen diese Kurven konstant sind. Wenn die Randterme verschwinden, dann hängt
d 2 /ds 2 | 0 L(c s ) nur vom Variationsvektorfeld V , nicht von der Variation H selbst ab.
(ii) Die zweite Variationsformel gilt offenbar unverändert für stückweise differenzierbare
Variationen.
(iii) Variiert man eine Geodätische c bei festgehaltenen Endpunkten in eine Richtung
nichtpositiver Krümmung in dem Sinne, dass die Schnittkrümmung K(V ⊥ , ċ)
auf [a, b] nichtpositiv ist, dann sind für hinreichend kleine Parameterwerte s die
Nachbarkurven c s länger als c. In der Tat verschwindet die erste Ableitung der
Funktion s ↦→ L(c s ) an der Stelle s = 0, und ihre zweite Ableitung ist nach der
zweiten Variationsformel positiv.
21.2. Der Satz von Bonnet und Myers. Der Durchmesser diam(M, g) einer
zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert als das Supremum
ihrer Abstandsfunktion,
diam(M, g) = sup{d(p, q) | p, q ∈ M}.
Der Satz 19.2 von Hopf und Rinow zeigt, dass jede vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit
mit endlichem Durchmesser kompakt ist. Ungekehrt ist jede kompakte
Riemannsche Mannigfaltigkeit vollständig und hat, wegen der Stetigkeit der Abstandsfunktion,
auch endlichen Durchmesser.
Satz von Bonnet–Myers. Sei (M n , g) vollständig und zusammenhängend. Es
gebe eine Konstante κ > 0 mit der Eigenschaft Ric ≥ (n−1)κ g. Dann ist M
kompakt mit Durchmesser
diam(M, g) ≤ √ π . κ
Bemerkungen. (i) Die Ungleichung Ric ≥ (n−1)κg soll bedeuten, dass das symmetrische
Tensorfeld Ric − (n−1)κg überall positiv definit ist. Gleichbedeutend
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